Bài tập Đại số luyện thi vào Lớp 10 THPT (Có đáp án)

Bài 6. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:

Ta có:

(1). Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có:

Tương tự: ; Suy ra: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (2). Từ (1) và (2):

Bài 6. Cho các số . Chứng minh rằng: .

Vì b, c nên suy ra . Do đó: a + b2 + c3 – ab – bc – ca a + b + c – ab – bc – ca (1). Lại có: a + b + c – ab – bc – ca = (a – 1)(b – 1)(c – 1) – abc + 1 (2) Vì a, b, c nên (a – 1)(b – 1)(c – 1) 0 ; – abc 0 Do đó từ (2) suy ra a + b + c – ab – bc – ca 1 (3). Từ (1) và (3) suy ra a + b2 + c3 – ab – bc – ca 1.

Bài 6. Chứng minh rằng: với a, b là các số dương.

Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta được:

Từ (2) và (3) suy ra:

Từ (1) và (4) suy ra:

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a

= b.

Bài 6. Cho hai số x, y thỏa mãn đẳng thức: . Tính: x + y

Ta có:

(1) (gt)

(2)

(3)

Từ (1) và (2) suy ra:

  2 2 2 2 . ab bc ca a b c ab bc ca        

      2 2 2 a b b c c a 0      

    2 2 2 2 a b c 2 ab + bc + ca    

2 2 2 a b c ab bc ca      

  2 2 . a a b c a ab ac      

2 b ab bc   2 . c ca bc  

  2 2 2 2 . ab bc ca a b c ab bc ca        

  , , 0 ; 1 a b c 2 3 – – – 1 a b c ab bc ca   

  0;1  2 3 b b; c c  



  0 ; 1   





   

a + b 1 2 a 3a + b b 3b + a

 

       

a + b 2(a + b) (1) a 3a + b b 3b + a 4a 3a + b 4b 3b + a   

  

  

4a + (3a + b) 7a + b 4a 3a + b 2 2 2 4b + (3b + a) 7b + a 4b 3b + a 3 2 2

 

 

     4a 3a + b 4b 3b + a 4a + 4b 4  

   

a + b 2(a + b) 1 4a + 4b 2 a 3a + b b 3b + a

  

   2 2 x + x 2011 y + y 2011 2011   

   2 2 x + x 2011 y + y 2011 2011   

   2 2 x + x 2011 x - x 2011 2011   

   2 2 y + y 2011 y - y 2011 2011   

DeThi.edu.vn

(4)

Từ (1) và (3) suy ra:

(5)

Cộng (4) và (5) theo từng vế và rút gọn ta được: x + y = - (x + y) 2(x + y) = 0 x + y = 0.

Bài 6. Tìm x, y thoả mãn:

Điều kiện: Đặt

Ta có phương trình:

Xem (2) là phương trình bậc hai ẩn z thì phương trình có nghiệm khi

Để phương trình có nghiệm thì:

Thế vào (1) ta tìm được: .

Vậy: và là các giá trị cần tìm.

Bài 6. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

Ta có:

Cộng từng vế (1), (2), (3), ta được : 1 < + + < 2,

Bài 6. Tìm các giá trị x để là số nguyên âm.

Đặt .

Khi đó ta có: (1). Ta tìm điều kiện của y để (1) có nghiệm.

Nếu thì (1) có nghiệm .

Nếu , (1) có nghiệm

. Kết hợp lại thì (1) có nghiệm . Theo giả thiết là số nguyên âm . Khi đó thay vào trên ta có .

    2 2 y + y 2011 x - x 2011   

    2 2 x + x 2011 y - y 2011   

 

a b c 1 + + 2 a + b b + c c + a  

0 x 

x , 0. z z  

  2 2 5 2 2 1 0 z y z y    

0  

      2 2 2 2 5 1 2 1 0; y y y y         

1 0 2 y    

1 4 x 

1 4 x  1 2 y 

a b c 1 + + 2 a + b b + c c + a  

 a a a + c 1 a + b + c b + a a + b + c  

 b b b + a 2 a + b + c b + c a + b + c  

 c c c + b 3 a + b + c c + a a + b + c  

a a + b

b b + c

c c + a

1 3 4

2 

 x

x

1 3 4

2 

 x

x y

  3 4 1 2    x x y    0 3 4 . 2     y x x y

0  y 3 4   x

0  y    2 2 3 0 x y y     

2 3 4 0 y y    

2 3 4 0 y y     1 4 y  

 4 1    y y  1   y 2   x

DeThi.edu.vn