Một số dạng bài tập về phương trình bậc hai và ứng dụng của hệ thức vi-ét môn Toán Lớp 9

1

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT

Dạng 1: Giải PT bậc hai bằng cách sử dụng công thức nghiệm và công thứ nghiêm thu gọn.

1. Dạng tổng quát: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 ). Trong đó x là ẩn, a, b, c là các hệ số

2. Công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn:

a) Công thức nghiệm: Với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Δ = b2 – 4.a.c

+ Δ < 0  phương trình vô nghiệm

+ Δ = 0  Phương trình có nghiệm kép : x1 = x2 = a

b 2 

+ Δ > 0  phương trình có hai nghiệm phân biệt: a b x 2 1

    a b x 2 1

   

b) Công thức nghiệm thu gọn:

Với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Nếu b chẵn. Đặt b = 2b’, ta có

+ Δ’ < 0  phương trình vô nghiệm

+ Δ’ = 0  Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

a

b' 

+ Δ’ > 0  phương trình có hai nghiệm phân biệt: a b x ' '

1

    a b x ' '

1

   

* Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau

1. 2 2 3 5 0 x x - - = 2. 2 6 8 0 x x - + = 3. 2 5 7 0 x x - =

4. 2 3 9 0 x - + = 5. 2 5 1 0 x x + - = 6. 2 3 (1 3) 1 0 x x - - - =

Δ’ = b’2 – a.c

DeThi.edu.vn

2

Dạng 2: Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c (hoặc a, b, c, b') (nếu chưa thành thạo).

Bước 2: Tính  hoặc ' 

Bước 3. Kiểm tra các điều kiện

+ Nếu <0 (hoặc ' <0) thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu =0 (hoặc ' = 0) thì phương trình có nghiệm kép

+ Nếu >0 (hoặc ' > 0) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

+ Nếu 0  (hoặc ' 0 ) thì phương trình có nghiệm.

+ Lưu ý:

- Trong một số bài toán tìm điều kiện để phương trình có nghiệm mà hệ số a chứa tham số ta phải xét trường hợp a = 0. Sau đó xét trường hợp 0 a  và làm như các bước ở trên.

- Trong một số bài toán tìm điểu kiện của m để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm, có 2 nghiệm phân biệt ma hệ số a chứa tham số ta phải tìm điều kiện để phương trình đó là phương trình bậc hai ( 0 a )

Ví dụ 1: Cho phương trình (m -1)x2 + 2.(m+2)x+m = 0 (1).

a, Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

b, TÌm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Giải

a,

+ Khi m-1 = 0 hay m =1, phương trình (1) trở thành: 6x + 1 = 0.

Đó là phương trình bậc nhất và có nghiệm 1 6 x   .

+ Khi m - 1 0  hay m 1 . Ta có

2 2 2 ' ( 2) .( 1) 4 4 5 4 m m m m m m m m           

Để phương trình có nghiệm thì ' 0 , tức là: 4 5 4 0 5 m m     

DeThi.edu.vn

3

Kết hợp 2 trường hợp ta được khi 4 5 m   thì phương trình 1 có nghiệm.

b, Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì 0 ' 0 a    

, tức là:

1 1 0

4 5 4 0

5

m m

m m

             

Vậy với 1 m  và 4 5 m   thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Bài tập áp dụng

Bài 1: Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có nghiệm

a, x2 - x - 2m = 0 b, 5x2 + 3x + m-1 = 0

c, mx2 - x - 5 =0 d, (m2 + 1)x2 - 2(m+3)x + 1 = 0

Bài 2: Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt

a, 3x2 - 2x + m =0 b, x2 + 2(m-1)x - 2m+5 = 0

Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình vô nghiệm

a, ( m-1)x2 + 2x + 11 = 0 b, x2 + (m-1)x+m-2=0

Bài 4: Cho pt 2 2( 1) 3 0 mx m x m - - + - = tìm các giá trị của m để phương trình

a) Có hai nghiệm phân biệt

b) Có nghiệm kép

c) Vô nghiệm

d) có đúng một nghiệm

e) Có nghiệm

Dạng 3: Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm, 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính  hoặc ' 

Bước 2:

DeThi.edu.vn