Bài tập Đại số Lớp 9 - Chủ đề Hệ thức Viet và ứng dụng (Có đáp án)

CHỦ ĐỀ HỆ THỨC VIET

VD1: Tìm điều kiện của m để phương trình sau: 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0

a) Có hai nghiệm khác dấu b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương d) Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau

Giải:

a) Phương trình có hai nghiệm khác dấu khi P < 0 hay m - 1 < 0  m < 1 b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm khi

 

2 0 2 3 0 1 0 1 2 0 3 0 1 0 2

m m S m

m P m

                            

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương khi

 

2 0 2 3 0 0 1 2 0 0 1 0

m S m P m

                   

không có giá trị nào của m thoả mãn

d) PT có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau hay PT có hai nghiệm

đối nhau .PTcó hai nghiệm đối nhau khi 0

0 S

    

 1 - 2m = 0  m = 1

2

Điều cần chú ý ở đây là khi  < 0 thì không cần xét dấu các nghiệm của phương trình vì phương trình vô nghiệm.

Khi P < 0 thì kết luận ngay phương trình có hai nghiệm trái dấu vì  > 0 Khi P > 0 ta phải xét đến hai yếu tố còn lại là  và S

Ví dụ 2: Cho phương trình x2+ mx + 1 = 0 ( m là tham số)

Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 . Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m: a) x12 + x22 b) x13 + x23 c) 1 2 x x 

Giải:

Vì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = -m và x1.x2 = 1 a) x12 + x22 = (x1 +x2)2 - 2x1x2 = m2 - 2 b) x13 + x23 = (x1+x2)3 - 3x1x2(x1+ x2) = -m3+ 3m c) (x1 - x2)2 = (x1 +x2)2 - 4x1x2 = m2- 4 nên 1 2 x x  = 2 4 m 

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x2 + 2x + m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn

a) 3x1 + 2x2 = 1 b) x12 -x22 = 6 c) x12 + x22 = 8

Giải: Để phương trình có nghiệm thì ' 0  m1

DeThi.edu.vn

a) Kết hợp hệ thức Viét ta có hệ:

1 2

1 2

1 2

2 (1) 3 2 1 (2) (3)

x x x x x x m

         

Giải hệ (1), (2) ta được x1= 5; x2= -7

Thay vào (3) ta được m = -35 (thoả mãn điều kiện) b) Kết hợp hệ thức Viét ta có hệ:

2 2 1 2

1 2

1 2

6 (1)

2 (2)

(3)

x x

x x

x x m

         

Giải hệ (1), (2) ta được x1= 5 2  ; x2 = 1

2

Thay vào (3) ta được m = - 5

4 (thoả mãn điều kiện)

c) x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2x1x2  4 - 2m = 8  m = -2 (thoả mãn)

Ví dụ 4: Tìm m để PT x2 - mx + 3 = 0 (m là tham số) có hai nghiệm thoả mãn 3x1+ x2 = 6

Giải: Để PT có nghiệm thì   0 hay m2 - 12  0  m 2 3 hoặc m  -2 3 Kết hợp với hệ thức Viét ta có

1 2

1 2

1 2

(1) 3 6 (2) 3 (3)

x x m x x x x

         

giải hệ (1), (2) ta được x1= 6

2

m  ; x2 = 3 6 2 m 

Thay vào (3) ta được (6 - m)(3m - 6) = 12 giải ra ta được m = 4 (thoả mãn)

Ví dụ 5: Giả sử x1, x2 là nghiệm của PT x2 + 2mx + 4 = 0. Xác định m để x14 + x24  32

Giải: Để phương trình có nghiệm thì '  0 hay m2 - 4  0  2 m 

Ta có: x14 + x24 = (x12 + x22)2 - 2x12x22 =  

2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2( ) x x x x x x       

Theo hệ thức Viét ta có:

1 2

1 2

2 4 x x m x x      

nên x14 + x24  32  (4m2 - 8)2 - 32  32



2 2 2 2 2 2 2 2 m m m       

Kết hợp với điều kiện '  0 ta được m = 2 hoặc m = -2

Dạng: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số

Ví dụ1 : Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m2 =0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Giải: a) Ta có ' = (m + 1)2 - m2 = 2m + 1 Phương trình đã cho có nghiệm

 '  0  m - 1

2

b ) Theo hệ thức Viét ta có

1 2

2 1 2

2( 1) (1)

(2)

x x m

x x m

      

Từ (1) ta có m = 1 2 1 2 x x   thay vào (2) ta được

2 1 2 1 2 1 2 x x x x          hay 4x1x2 = (x1 + x2 - 2)2 là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

DeThi.edu.vn