Bài tập Chứng minh bất đẳng thức Lớp 9 - Tú Lê (Có lời giải)

Facebook : Tú Lê – Từ trang 56 – 60

Chứng minh:

Hướng dẫn giải

Ta dễ tìm thấy điểm dơi đạt tại a = b = c = 1

Với điểm dơi trên ta có :

Ta có:

Vì :

Tương tự :

Vậy :

Đẳng thức xảy ra :

Ví dụ 2.33. Cho và

Chứng minh :

Hướng dẫn giải

Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại

Ta có :

Tương tụ :

Mặt khác ta có:

2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 a b b c c a      

2 2 3 3 2 2 2 4 2 2 2 3 2

1 2 1 1 3 2 3 3

a b a b a b a b a b a b a b a b       

 

2

3 3 4 2 4 2 2 2

2

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 2 6

1 1 2 2 18

a b a b a b a b a b

a ab

                   

  

 

2 3 4 2 3 2 . . 2 3 3 a a ab a b a abb a b     

  2 2 1 1 1 2 2 2 18 c ac a b     

    2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 ; 2 2 2 18 2 2 18 b bc c ca b c c a        

 

2

2 2 2 1 1 1 3 1 3 1 1 2 2 2 2 18 2 2 a b c a b b c c a            

1 a b c  

, , 0 a b c  3 a b c 

3 3 3

3 2 a b c b ab c bc a ca      

1 a b c  

 

2

3 2 2 2

1 1 1 1 1 . 1 1

2 2 a a a b b b ab b a b b a b b b b b a a a

                       

3 3 1 1 1 1 ; 2 2 b c c bc c a ca a b c      

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 4 4 4 2 2 2 2 a a b c a a b c                     

DeThi.edu.vn

Lời bình: Qua các ví dụ trên, ta có thể đưa ra cách tác cho dễ dàng như sau:

Ta ghi nhớ: với K là hằng số khác 0

3. Điểm rơi của biểu thức không đối xứng và kỹ thuật liên quan

3.1 Biểu thức không đối xứng với các biến

Cho biểu thức

Nếu ta hoán đổi vai trò của x,y cho nhau thì biểu thức P sẽ thay đổi nên ta nói biểu thức P không là biểu thức đối xứng với vai trò các biến không bình đẳng với nhau. Vậy điểm dơi x # y

3.2 Phương pháp giải và các ví dụ minh họa

Ví dụ 2. 34. Cho và thỏa mãn

Tìm GTNN của biểu thức

Hướng dẫn giải

Ta giả sử điểm rơi đạt tại:

Dựa trên liên hệ x và y ta đặt:

Khi đó thì:

3 3 3

1 1 1 1 1 1 1 3 3 9 3 1 4 4 4 2 a b c b ab c bc a ca a b c a b c a b c                                   

. . 1 M M K M N K N K K N K K N            

2 2

2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 ; ; 1 1 1 2 2 2 2 2 a a a a a a a               

 

2 2

2 2 2 2 2 1 1 . 1 ; 1 . 1 1 1 1 1 1 a b a b a a a b b b b b                        

2 2

2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 . 1 ; . 1 1 1 1 2 2 2 2 2 a b c a b a a b c b c b c a b a b a b                        

3 2 2 2 2

3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 1 ; . 1 2 2 2 a a b a a b a a a a a b a b a b a b a b a b                        

 

2

3 2 2 2

1 1 . 1 a a a b b ab b a b b a b b b a

             

10 8 5 3 P x y x y    

, 0 a b  3 a b  

1 2 2 P a b a b    

  , , 0 3 a x b y x y x y     

    3 0 . 1 3 1 x ty t x y y t y t          

  1 2 1 2 32 1 32 9 1 3 2 6 3 6 3 6 9 6 2 t t P t t t                 

DeThi.edu.vn

Đẳng thức xảy ra khi:

Vậy

Lời bình: Khi đã biết điểm dơi đạt tại

Ta tách như sau:

Ví dụ 2.35. Cho và

Tìm GTNN của biểu thức

Hướng dẫn giải

Ta giả sử điểm dơi đạt tại:

Ta đặt :

Khi đó thì :

Đẳng thức xảy ra khi:

Vậy :

Lời bình : Khi đã biết điểm rơi đạt tại

Ta tách như sau:

Ví dụ 2.36 Cho và . Tìm GTNN của biểu thức

( Trích ĐTTS vào lớp 10, Bắc Giang năm học 2008-2009)

Hướng dẫn giải

Ta giả sử điểm dơi đạt tại:

  1 2 1 0 ; 3 1; 2 6 3 2 2 t b t t a a b a b t           

9 1, 2 2 MinP a b    

1, 2 a b  

1 2 1 2 1 3 9 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 a b a b M a b a b a b

                         

, 0 a b  6 a b  

6 8 3 2 P a b a b    

  , , 0 6 a x b y x y x y     

    6 6 0 1 6 1 1 t x ty t x y y t y x t t             

    3 4 1 4 1 18 12 1 6 1 12 1 3 8 13 19 1 3 1 3 t t t t t P t t t t                      

    4 1 6 1 1 0 2; 4 1 3 2 t t t t a b t t         

19 2, 4 MinP a b    

2, 4 a b  

  6 8 6 3 8 3 3 3 …