Bài tập Hình học Lớp 9 tổng hợp siêu khó (Có lời giải chi tiết)

Bài hình tổng hợp siêu khó

Lời bàn: Hôm bữa vài ngày trước tôi có nhờ giangtienhai giải một bài hình phương

tích đường tròn khá là khó. Hôm nay kiểm tra lại bài toán Menelaus của tác giả đã

giải từ lâu. Tôi đã mạnh dạn đề xuất bài toán tổng hợp rất khó từ các bài toán phụ

trên kết hợp với nhau như sau:

Đề bài: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) có 2 đường cao BE và CF cắt

nhau tại H, AH cắt (O) tại K. Gọi I là trung điểm cạnh AH. Lấy điểm M thuộc cạnh

KC, điểm N thuộc cạnh ME sao cho HM // BK và HN // BC. Gọi P và Q lần lượt là

trung điểm các cạnh NI và NK, PE cắt MQ tại L. Đường thẳng qua L song song với

AK cắt BK và SI lần lượt tại S và T. Chứng minh

: Nếu tanB.tanC = 3 thì L là trung điểm cạnh ST (B,C là góc tam giác ABC)

Nhận định: Một bài toán rất là khó và hầu như các dữ kiện đều rời rạc với nhau !!!.

Các bạn và thầy cô có thể làm cách khác nhưng sẽ rất khó và dài vì sẽ dùng đến rất

nhiều đường phụ. Thật bất ngờ, nó sẽ sự tổng hợp của 4 bài toán phụ đều mang tính

khủng bố ngay cả chứng minh riêng lẻ từng bài toán phụ. Tôi xin được trình bày các

bài toán phụ như sau

DeThi.edu.vn

Bài 1 (hình 1) Cho tam giác ABC có D thuộc cạnh AB, E thuộc cạnh AC sao cho

DE // BC, BE cắt CD tại I. Chứng minh: AI đi qua trung điểm cạnh DE và BC

Bài 2 (hình 2) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R) có H là trực tâm. Chứng

minh rằng: Nếu tanB.tanC = 3 thì OH _|_ AH (B,C là các góc tam giác ABC)

Bài 3 (hình 3) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn có 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại

H. Gọi I là trung điểm cạnh AH, AH cắt (O) tại K. Cho IE cắt BK tại M, IF cắt CK

tại N. Chứng minh: OH vuông góc với MN

Bài 4 (hình 4) Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D bất kì. Trên cạnh AB lấy

điểm E, cạnh AC lấy điểm F sao cho góc BDE = góc CDF. Đường thẳng qua D vuông

góc với BC cắt EF tại K. Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh KB và KC. Cho

EM cắt NF tại I. Chứng minh: AI đi qua trung điểm O của cạnh BC.

Bài toán phụ hình 1 và hình 2 có thể chứng minh khá dễ dàng. Bài toán hình phụ 3 và

4 rất là khó chứng minh, cách chứng minh các bạn và thầy cô có thể xem các bài tôi đã

đăng từ trước. Quay trở lại bài toán chính

DeThi.edu.vn

Cho IE cắt BK tại U, IF cắt CK tại V, IE cắt CK tại Z, IV cắt KU tại J.

Theo bài toán phụ ta có OH _|_ AH và OH _|_ UV nên UV // AH. Áp dụng bài toán

phụ số 1 ta có JZ đi qua trung điểm cạnh IK. Dễ dàng chứng minh được\

góc AHE = góc KHM. Áp dụng bài toán phụ số 4 cho LZ đi qua trung điểm cạnh IK

nên 3 điểm J, L, Z thẳng hàng hay JL đi qua trung điểm cạnh IK. Lại áp dụng hệ quã

ta let ta chứng minh được LT = LS (đpcm).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nhận xét: Theo nhận định chủ quan của tôi, mức độ khó của bài toán có thể thậm chí

khó hơn nhiều so với đề thi Olympic. Nếu như có cách giải khác với 4 bổ đề trên, nó sẽ

đi theo hướng khá là phức tạp. Có thể dùng phương pháp tọa độ để chứng minh, tuy

nhiên nó sẽ rất là dài và khó, không phù hợp với chương trình toán THCS. Thậm chí

ngay cả giả thiết tanB.tanC = 3 cũng sẽ gây rào cản không nhỏ khi lập tọa độ.

Nhưng dù sao đi nữa, tuy là bài rất khó. Nhưng biết đâu lại có cách giải rất siêu việt,

chỉ kẻ đường phụ dùng khoảng 3,4 cặp tam giác đồng dạng là ra !!!. Thật vậy, biết đâu

trong các vấn đề phức tạp lại rất đơn giản nếu ta biết định hướng.

Còn các bạn và thầy cô suy nghĩ như thế nào ?. Bài toán này có thú vị hay không ?.

Liệu có quá khó và rườm rà hay thậm chí có thể tìm được lời giải rất nhanh chóng mà

không phải trải qua các bước chứng minh phức tạp như trên ?.

DeThi.edu.vn