Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 9 (Có đáp án)

Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

ĐỀ SỐ 1

đề thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn

môn: toán chung . thời gian: 150' ( Tham khảo " Đề thi học sinh giỏi Liên xô" )

Bài I: (2 điểm ) Cho a,b,c là ba số khác nhau từng đôi một, c 0 . Chứng minh rằng nếu các phương trình: 2 x ax bc 0    và 2 x bx ca 0    có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm thứ hai của các phương trình đó thỏa mãn phương trình 2 x cx ab 0   

Bài II: (2 điểm )

Gọi n S = 1 1 1 ... 1 2 2 3 n n 1       , n N,n 1  .

Tìm tất cả các giá trị của n sao cho n  100 và n S có giá trị nguyên

Bài III: (2 điểm )

Giải phương trình nghiệm nguyên: yz zx xy 3 x y z   

Bài IV: ( 1 điểm )

Cho a > 0 , chứng minh

n...so...a a a a ... a        1 4a 1 2  

Bài V: ( 3 điểm ) Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC , các tiếp điểm tại D, E, F . Chứng minh rằng tích các khoảng cách hạ từ một điểm M bất kỳ trên đường tròn xuống các cạnh của tam giác ABC bằng tích các khoảng cách từ M đến các cạnh của tam giác DEF

DeThi.edu.vn

Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

đáp án thi tuyển vào thpt chuyên lam sơn

môn toán chung ( Gồm 2 tờ )

Bài I: 2 điểm. ( Mỗi mục tương ứng cho 0,5 điểm )

 Ta gọi 0 x là nghiệm chung của hai phương trình: 2 x ax bc 0   , 1 và

2 x bx ca 0   , 2 . Và 1x , 2 x lần lượt là các nghiệm thứ hai của  1 và  2 , với

1 2 x x  . Khi đó ta có:

2 0 0

2 0 0

x ax bc 0

x bx ac 0

        

     0 x . a b c. a b 0        0 a b . x c 0   , a b  0 x c .

 Mặt khác, áp dụng định lý Viét cho  1 và  2 ta có:

0 1

0 2

x .x b.c

x .x a.c

    

,

1 0

2

x b x c 0 x a

      

 1 2 x x a b   ,  3 .

 Ngoài ra:

0 1

0 2

x x a

x x b

      

, 0 x c   1 2 2c x x a b   ,  4

 Kết hợp  4 với  3 ta đợc c a b . Nh vậy ta có: 1 2 x x c   và

1 2 x .x a.b   1x và 2 x là nghiệm của phương trình 2 x cx ab 0   .đpcm

Bài II: 2điểm. ( Mỗi phần tương ứng cho 0,5 điểm )

 Chú ý rằng:

  

1 k 1 k k 1 k k k 1 k k 1 k 1 k

        

, k N,k 1  

 Suy ra n S =       2 1 3 2 ... n n 1 n 1 n          = n 1 1 

 n S nhận giá trị nguyên , khi n 1  là một số chính phương . Dạng 2 n k 1  

 Kết hợp với điều kiện n N,1 n 100    , suy ra tập các giá trị của n thỏa mãn các yêu cầu của bài toán là:   3,8,15,24,35,48,63,80,99

Bài III: 2điểm. ( Mỗi mục  tương ứng cho 1,0 điểm )

 Với điều kiện: xyz 0 

Ta có: yz zx xy 3 x y z   , 1  2 2 2 2 2 2 2x y 2y z 2z x 6xyz     , 2

    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y 2x yz x z x z 2xyz y z y z 2xy z x y         

 2 2 2 6xyz 2x yz 2xy z 2xyz   

 

2 xy xz   

2 xz yz   

2 yz xy       2xyz 1 x 1 y 1 z          , 3

DeThi.edu.vn

Bộ 30 Đề thi Toán nâng cao Lớp 9 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

 Nhận xét: Từ  2  xyz 0 , vì vậy 3  3 x y z 0    .Phương trình có nghiệm tự nhiên x = y = z = 1, lại do xyz 0 suy ra các nghiệm nguyên của phương trình  1 là:  x, y,z   1,1,1 ,   1, 1,1  ,   1, 1, 1  ,   1,1, 1  

Bài IV: 1điểm. ( Mỗi mục tương ứng cho 0,5 điểm )

 Ký hiệu: xn =

n...so...a a a a ... a       , ta có xn > 0 với n 1

Ta chứng minh xn-1< xn với n > 1 + Ta có: a < a a   x1< x2 + Giả sử với n = k - 1 > 0, ta có xk-1< xk . Khi đó : 2 2 k 1 k k 1 k x a x a x x       

 xk+1> xk. Theo nguyên lý quy nạp suy ra: xn-1< xn

 2 k k 1 k x a x a x       2 n n n n 1 4a 1 1 4a 1 x x a 0 x . x 0 2 2

                      

n 1 4a 1 1 4a 1 x 2 2        . Vậy

n...so...a a a a ... a       1 4a 1 2  . đpcm

Bài V: 3điểm ( Mỗi mục tương ứng cho 1,0 điểm )  Bổ đề: Khoảng cách từ một điểm trên đờng tròn đến đờng thẳng qua hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến với đờng tròn là trung bình nhân khoảng cách từ …