Đề ôn tập môn Toán Lớp 9 - Đề số 31 (Có đáp án)

1

ĐỀ ÔN TẬP 31.

Bài 1. Cho biểu thức: với .

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 2. Giải phương trình và hệ phương trình sau:

Bài 3. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 9 ngày thì xong. Mỗi ngày, lượng công việc của người

thứ hai làm được nhiều gấp ba lần lượng công việc của người thứ nhất. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi

người làm xong công việc đó trong bao nhiêu ngày?

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol và đường thẳng

.

a) Với , tìm tọa độ giao điểm của và .

b) Tìm m để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là chiều dài và chiều rộng của

hình chữ nhật có diện tích bằng .

Bài 5. Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố định. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C sao cho

. Qua C kẻ đường thẳng d vuông góc với CA. Lấy điểm M bất kỳ trên đường tròn (O) không trùng

với A, B. Tia BM cắt đường thẳng d tại P. Tia CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N, tia PA cắt

đường tròn (O) tại điểm thứ hai là Q.

a) Chứng minh tứ giác ACPM là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh tích BM.BP không đổi.

c) Chứng minh hai đường thẳng PC và NQ song song.

d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác CMB luôn nằm trên một đường tròn cố định khi điểm M

thay đổi trên đường tròn (O).

Bài 6. Xét các số thực sao cho phương trình bậc hai có hai nghiệm

thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2( 1) 1 1 x x x x x P x x x x          0 1 x  

x

4 2 3 – 4 0 x x  

( )

2 : P y x =

( ) ( )

2 : 2 1 3 d y m x m m = - - +

3 m = ( ) d ( ) P

( ) d ( ) P

7 4

R AC 

; ; ( 0)  a b c a 2 0    ax bx c ; m n

0 1;0 1     m n

DeThi.edu.vn

2

.

HƯỚNG DẪN GIẢI

BÀI NỘI DUNG

1 a) Rút gọn biểu thức P.

Với ta có:

Kết luận:

b) Tìm để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất.

Với ta có:

Dấu ‘=’ xãy ra khi và chỉ khi

Kết luận: P đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

2 Đặt : x2 = y, y 0. Khi đó phương trình đã cho có dạng: y2 + 3y – 4 = 0

(1).

2

2 2 2       a ac ab bc Q a ab ac

0 1 x  

2 ( 1)( 1) ( 1) 1 1 x x x x x x x x x x x x x x             

2 (2 1) 2 1 x x x x x x x     

2( 1) 2( 1)( 1) 2( 1) 1 1 x x x x x x        

( ) (2 1) 2( 1) 1 P x x x x x x         

1, 0 1 P x x x     

x

0 1 x  

2 1 3 3 1 ( ) 2 4 4 P x x x       

1 1 0 2 4 x x    

1. 4 x 

2 t , 0 x t  

DeThi.edu.vn

3

Phương trình (1) có tổng các hệ số bằng 0 nên (1) có hai nghiệm y1 = 1; y2 = - 4.

Do y 0 nên chỉ có y1 = 1 thỏa mãn. Với y1 = 1 ta tính được x = 1. Vậy phương

trình có nghiệm là x = 1.

3 Gọi thời gian người thợ thứ nhất và người thợ thứ hai làm một mình xong việc lần

lượt là x (ngày) và y (ngày). ĐK: x, y > 9.

Mỗi ngày: người thứ nhất làm được công việc, người thứ hai làm được công

việc, hai người cùng làm được công việc.

Ta có phương trình: (1)

Vì mỗi ngày, lượng công việc của người thứ hai làm được nhiều gấp ba lần lượng

công việc của người thứ nhất nên ta có phương trình:

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy nếu làm một mình thì người thợ thứ nhất cần 36 ngày, người thợ thứ hai cần

12 ngày để làm xong công việc.

4 Xét phương trình hoành độ giao điểm của và :

(1)

a) Với thì phương trình (1) trở thành:

Thay lần lượt vào phương trình của parabol ta được

 



1

x

1

y

1 9

1 1 1 9   x y

1 3  y x

1 1 1 1 3 1 4 1

36 9 9 9 1 3 1 3 1 3 12

                                    

x x y x x x

y y x y x y x

( ) d ( ) P

( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 3 2 1 3 0 x m x m m x m x m m = - - + Û - - + - =

3 m = 2 0 4 0 4

x x x x

é = ê - = Û ê = ë

0, 4 x x = = ( )

2 : P y x =

DeThi.edu.vn