Đề ôn tập môn Hình học Lớp 9 (Có đáp án)

1

ĐỀ ÔN TẬP. Bài 5. Cho đường tròn tâm O đường kính , điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho tam giác ABC nhọn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, F là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng:

a) Năm điểm A, O, M, N, F cùng nằm trên một đường tròn. b) Ba điểm M, N, H thẳng hàng. c)

HƯỚNG DẪN GIẢI.

BÀI NỘI DUNG Hình vẽ

D

I H

O F

N

M

C B

A

a) Do các điểm M, N, F cùng nhìn đoạn AO dưới góc nên A, O, M, N, F cùng thuộc đường tròn đường kính AO.

b) Ta có (Tính chất tiếp tuyến). Từ câu a) suy ra (1). Mặt khác, vì hai tam giác ADH, AFC đồng dạng; hai tam giác ADN, ANC đồng

dạng nên .

Do đó, hai tam giác ANH, AFN đồng dạng (c.g.c) (2). Từ (1), (2) ta có đpcm. c) Từ câu a) ta có . Gọi ta có I là trung điểm của MN.

Từ đó suy ra Bài 5. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF.

a) Chứng minh ACBD là hình chữ nhật. b) Gọi H là trực tâm của tam giác BPQ. Chứng minh H là trung điểm của OA.

2 BC R 

2 2 . . HA HF R OH  

0 90

AM AN  · · ANM AFN 

2 . . AH AN AH AF AD AC AN AN AF    

· · ANH AFN   · · ANH ANM H MN      . . HM HN HA HF  I OA MN     

2 2 . HM HN IM IH IM IH IM IH     

  2 2 2 2 2 2 OM OI OH OI R OH      

2 2 . . HA HF R OH  

DeThi.edu.vn

2

c) Xác định vị trí của đường kính CD để tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất.

HƯỚNG DẪN GIẢI

BÀI NỘI DUNG Hình vẽ

D

O

B

A

C H

P Q E F

D

O

B

A

C

a) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra Chứng minh ACBD là hình chữ nhật.

b) Tam giác BEF vuông tại B có đường cao BA nên AB2 = AE. AF

;

đồng dạng với

. Mặt khác (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

nên . Hai góc này ở vị trí đồng vị nên PH // OE

P là trung điểm của EA H là trung điểm của OA

c) Ta có

.

vuông cân tại B vuông cân tại B

· · 0 90 ACB ADB  

· · 0 90 CAD CBD  

 2 2 AE AB AE AB AE AB AB AF OA AQ OA AQ     

· · 0 90 EAO BAQ AEO    ABQ 

· · AEO ABQ  · · HPF ABQ 

· · AEO HPF 



. . ( ) ( ) 2 2 BPQ

AB PQ R S R PQ R AP AQ AE AF       

.2 .AF 2 R AE 

2 2 . . 2 R AB R AB R   

2 2 BPQ S R AE AF    

BEF  BCD  CD AB  

DeThi.edu.vn

3

Vậy đạt giá trị nhỏ nhất là 2R2 khi

Bài 5. Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.

a) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh

c) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C nằm

trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và . Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung

điểm của đoạn thẳng HK

HƯỚNG DẪN GIẢI

BÀI NỘI DUNG Hình vẽ

a) Ta có ( do chắn nửa đường tròn đk AB) (do K là hình chiếu của H trên AB)

=> nên tứ giác CBKH nội tiếp trong đường tròn đường kính H

b) Ta có (do cùng chắn của (O)) và (vì cùng chắn .của đtròn đk HB)

Vậy

c) Gọi S là giao điểm của BM và đường thẳng (d), N là giao điểm của BP với HK.

Xét PAM và  OBM :

BPQ S CD AB 

· · ACM ACK 

AP.MB R MA 

· 0 90 HCB  · 0 90 HKB 

· · 0 180 HCB HKB   · · ACM ABM  ¼ AM · · · ACK HCK HBK   ¼ HK · · ACM ACK 

A B

C M

H

K O

E

A B

C M

H

K O

S

P E N

DeThi.edu.vn