Đề ôn thi THPT Chuyên Toán Lớp 9

ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 1

Câu 1. (1,5 điểm)

Cho ba số thực dương , , x y z thõa mãn điều kiện 2021 a b c b c c a a b       . Tính giá trị

của biểu thức

2 2 2 1 . a b c S a b c b c c a a b              

.

Câu 2. (2,5 điểm)

a) Giải phương trình    2 2 18 5 4 2 3 3 24 x x x x x        .

b) Giải hệ phương trình   

2 2

2 2

2 2 3 4 27

x y

x y y xy

        

.

Câu 3. (2,5 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên   ,x y thõa mãn 2 2 5 4 2 4 3 0 x y xy x y       .

b) Giả sử n là số tự nhiên thõa mãn   1 n n  không chia hết cho 7 . Chứng minh rằng

3 4 5 1 n n   không là số chính phương.

Câu 4. (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC , đường cao ', ' AA CC cắt nhau tại H . Đường phân giác của góc nhọn

tạo bởi hai đường thẳng ', ' AA CC cắt , AB BC tại , P Q . Đường thẳng qua P vuông góc

với AB , đường thẳng qua Q vuôn góc với BC cắt nhau tại R .

a) Chứng minh BR là phân giác góc ABC .

b) Gọi M là trung điểm của AC . Chứng minh , , H R M thẳng hàng.

Câu 5. (1 điểm)

Cho ba số thực dương , , x y z thõa mãn xy yz zx xyz    . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức

2 2 2

2 2 2 9 9 9 x y z P z zx x xy y yz       .

Hết

DeThi.edu.vn

Gợi ý

Câu 1.

Ta có     2021 2021 a b c a b c a b c a b c b c c a a b b c c a a b                       

   

2 2 2 2 2 2 2021 2020 a b c a b c a b c a b c a b c b c c a a b b c c a a b                     

Vậy 2020 S  .

Câu 2.

a) Liên hợp tìm được một nghiệm 8 x  . Sau đó tách thành tổng 3 bình phương có nghiệm 1 x .

b) Thế 2 2 2 x y   ở phương trình  2 từ đó tìm được nhân tử chung.

Câu 3.

a) Phân tích phương trình thành      2 2 1 2 2 0 x y y y       . Dẫn đến kẹp được y .

C2: Có thể thử sử dụng đenta.

b) Phân tích    3 2 4 5 1 1 4 4 1 n n n n n      . Đặt   2 gcd 1;4 4 1 d n n n     .

Tìm được 1 d  hoặc 7 d  .

7 d  vô lý

1 d  sử dụng nguyên lý kẹp.

Câu 4.

DeThi.edu.vn

a) Nhận xét: BPQ cân tại B . ( ' ' C PH A QH   : )

Từ đó cm được BR là phân giác (tam giác bằng nhau)

b) Gọi ,Y X là giao điểm của PR và ' AA ,QR và ' CC . S là giao điểm của HR và XY .

XHYR là hbh.

' ' HC HA HA HC  (Tam giác đồng dạng)

' ' ' ' ; PC HC QA HA PA HA QC HC   (tính chất phân giác)

' ' PC QA PA QC  

' ' ; PC HX QA HY PA XA QC YC   (Thales)

|| HX HY XY AC XA YC    (Thales đảo

Suy ra HS hay HR đi qua trung điểm M của AC. Điều phải chứng minh.

Câu 5.

DeThi.edu.vn

Đặt 1 1 1 ;b ;c a x y z    . Khi đó bài toán trở thành

Cho 1 a b c   . Tìm GTNN của 2 2 2 9 1 9 1 9 1 a b c P b c a       .

Sử dụng kỹ thuật Côsi ngược dấu ta có:

2 2

2 2 9 9 3 9 1 9 1 6 2 a ab ab ab a a a b b b        

Dẫn đến    

2 3 3 1 1 1 . 2 2 3 2 a b c P ab bc ca       

DeThi.edu.vn