Xem trước nội dung
BẤT ĐẲNG THỨC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa :
Cho ,a b là hai số thực. Các mệnh đề " ", " ", " ", " " a b a b a b a b > < ³ £ được gọi là những bất đẳng
thức.
•Chứng minh bất đảng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng(mệnh đề đúng) •Với , A B là mệnh đề chứ biến thì " " A B > là mệnh đề chứa biến. Chứng minh bất đẳng thức A B > (với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến " " A B > đúng với tất cả các giá trị của biến(thỏa mãn điều kiện đó). Khi nói ta có bất đẳng thức A B > mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến là số thực. 2. Tính chất :
* a b > và b c a c > Þ >
* a b a c b c > Û + > +
* a b > và c d a c b d > Þ + > +
* Nếu 0 c > thì a b ac bc > Û >
Nếu 0 c < thì a b ac bc > Û <
* 0 a b a b > ³ Þ >
* 2 2 0 a b a b ³ ³ Û ³
* 0 n n a b a b > ³ Þ >
3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.
* a a a - £ £ với mọi số thực a .
* x a a x a < Û - < < ( Với 0 a > )
* x a x a x a
é > ê > Û ê < - ë
( Với 0 a > )
4. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy)
a) Đối với hai số không âm
Cho 0, 0 a b ³ ³ , ta có 2 a b ab + ³ . Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi a b =
Hệ quả :
* Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau
* Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau
b) Đối với ba số không âm
Cho 0, 0, 0 a b c ³ ³ ³ , ta có 3 3 a b c abc + + ³ . Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi a b c = =
DeThi.edu.vn
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN.
1. Phương pháp giải.
Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) A B ³ ta có thể sử dụng các cách sau: Ta đi chứng minh 0 A B - ³ . Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích A B - thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm. Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh. 2. Các ví dụ minh họa. Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng. Ví dụ 1 : Cho hai số thực , , a b c . Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau
a)
2 2
2 a b ab + £ b)
2
2 a b ab
æ ö + ÷ ç £ ÷ ç ÷ ç ÷ è ø
c) ( ) ( )
2 2 2 2 3 a b c a b c + + ³ + + d) ( ) ( ) 2 3 a b c ab bc ca + + ³ + +
Lời giải:
a) Ta có 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 2 a b ab a b a b ab + - = - ³ Þ + ³ . Đẳng thức a b Û = .
b) Bất đẳng thức tương đương với
2
0 2 a b ab æ ö + ÷ ç - ³ ÷ ç ÷ ç ÷ è ø
( )
2 2 2 2 4 0 a ab b ab a b Û + + ³ Û - ³ (đúng) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra a b Û =
c) BĐT tương đương ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 a b c a b c ab bc ca + + ³ + + + + +
( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 a b b c c a Û - + - + - ³ (đúng) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra a b c Û = =
d) BĐT tương đương ( ) 2 2 2 2 2 2 3 a b c ab bc ca ab bc ca + + + + + ³ + +
( ) ( ) 2 2 2 2 2 0 a b c ab bc ca Û + + - + + ³ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 a b b c c a Û - + - + - ³ (đúng) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra a b c Û = =
Nhận xét: Các BĐT trên được vận dụng nhiều, và được xem như là "bổ đề" trong chứng minh các bất đẳng thức khác.
Ví dụ 2 : Cho năm số thực , , , , a b c d e . Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 ( ) a b c d e a b c d e + + + + ³ + + + .
Lời giải:
Ta có : 2 2 2 2 2 ( ) a b c d e a b c d e + + + + - + + + =
2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 a a a a ab b ac c ad d ae e = - + + - + + - + + - +
DeThi.edu.vn
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
