Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 3 Phương trình và hệ phương trình - Bài 4 Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

§4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. a) Định nghĩa: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng

2 2 2 2 1 1 1

1 1 2 2 2 2 2

( 0, 0) a x b y c a b a b a x b y c

ì + = ïï + ¹ + ¹ íï + = ïî b) Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

Tính các định thức: 1 1

2 2

a b D a b = , 1 1

2 2 x

c b D c b = , 1 1

2 2 y

a c D a c = .

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số. 2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

➢DẠNG TOÁN 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN, BA ẨN. 1. Phương pháp giải.

• Sử dụng phương pháp cộng đại số, phương pháp thế, dùng định thức. 2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

a) 5 4 3 7 9 8 x y x y

ì - = ïïíï - = ïî

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D. Vô nghiệm

b) 2 11 5 4 8 x y x y

ì + = ïïíï - = ïî

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D. Vô nghiệm

c) 2 4 1

2 4 2 5

x y

x y

ìï + = - ïïíï + = ïïî

Xét định thức Kết quả

D  0 Hệ có nghiệm duy nhất ;

y x D D x y D D

æ ö÷ ç ÷ ç = = ÷ ç ÷ è ø

Dx  0 hoặc Dy  0 Hệ vô nghiệm D = 0

Dx = Dy = 0 Hệ có vô số nghiệm

DeThi.edu.vn

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D. Vô nghiệm

d) 3 1

5 2 3

x y

x y

ìï - = ïïíï + = ïïî

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D. Vô nghiệm

Lời giải

a) Ta có 5 4 17 7 9 D - = = - - , 3 4 5 3 5, 19 8 9 7 8 x y D D - = = = = -

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là ( ) 5 19 ; ; ; 17 17

y x D D x y D D

æ ö æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç = = - - ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø

b) Ta có 2 1 13 5 4 D = = - - , 11 1 2 11 52, 39 8 4 5 8 x y D D = = - = = - -

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là ( ) ( ) ; ; 4;3 y x D D x y D D

æ ö÷ ç ÷ ç = = ÷ ç ÷ ç ÷ è ø

c) ) Ta có 2 4 0 2 4 2 D = = ,

1 4

4 2 20 0 5 4 2 x D

- = = - - ¹

Suy ra hệ phương trình vô nghiệm

d) Ta có 3 1 11 5 2 D - = = ,

1 1 3 1 2 3, 2 3 2 5 3 x y D D - = = + = = -

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là ( ) 2 3 2 ; ; ; 11 11

y x D D x y D D

æ ö æ ö + ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç = = - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ è ø è ø

Ví dụ 2: Tìm số nghiệm của các hệ phương trình sau

a) ( 3) 5) ( 2)( 5) x y xy x y xy

ì + - = ïïíï - + = ïî

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D. Vô nghiệm

b) 2

2 1

x y

x y

ìï - = ïíï - = - ïïî

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D. Vô nghiệm

DeThi.edu.vn

c)

3( ) 7

5 5 3

x y x y x y y x

ì + ïï = - ïï - ïíï - ï = ïï - ïî

A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D. Vô nghiệm

Lời giải

a) Hệ phương trình tương đương với 5 3 15

5 2 10

xy x y xy

xy x y xy

ì - + - = ïïíï + - - = ïî

5 3 15 25 12

5 2 10 5 2 10 25

x y y x

x y x y y

ì ì ì - + = = = ï ï ï ï ï ï Û Û Û í í í ï ï ï - = - = = ï ï ï î î î

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( ) ( ) ; 12;25 x y =

b) Hệ phương trình tương đương với 2 2 1 x y x y

ìï - = ± ïíï - = - ïî

2 2 1 x y x y

ìï - = ï Û íï - = - ïî

(1) hoặc 2 2 1 x y x y

ìï - = - ïíï - = - ïî

(2)

Ta có ( )

1 2 1 2 1

2 1 1 2 2

x x

x y y

ì ì ï ï = - - = - - ï ï ï Û Û í í ï ï - = - = - - ï ï î ïî

( )

1 2 1 2 2

2 1 1 2 2

x x

x y y

ì ì ï ï = - - = - + ï ï ï Û Û í í ï ï - = - = - + ï ï î ïî

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ) ;x y là ( ) 1 2; 1 2 2 - - - - và ( ) 1 2; 1 2 2 - - - +

c) ĐKXĐ: x y ¹

Hệ phương trình tương đương với ( ) ( ) ( )

3( ) 7

3 5 5

x y x y

x y y x

ìï + = - - ïïíï - = - ïïî

10 4 0 0 20 8 0 0 x y x x y y

ì ì - = = ï ï ï ï Û Û í í ï ï - = = ï ï î î

(không thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 3: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau

DeThi.edu.vn