Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 1 Mệnh đề. Tập hợp - Bài 2 Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học

§2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC

A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định lí và chứng minh định lí.

· Trong toán học định lý là một mệnh đề đúng . Nhiều định lý được phát biểu dưới dạng " ( ) ( ) , x X P x Q x " Î Þ ", ( ) ( ) , P x Q x là các mệnh đề chứa biến

· Có hia cách để chứng minh định lí dưới dạng trên

Cách 1: Chứng minh trực tiếp gồm các bước sau:

- Lấy x X Î bất kỳ mà ( ) P x đúng

- Chứng minh ( ) Q x đúng(bằng suy luận và kiến thức toán học đã biết)

Cách 2: Chứng minh bằng phản định lí gồm các bước sau:

- Giả sử tồn tại 0x X Î sao cho ( ) 0 P x đúng và ( ) 0 Q x sai

- Dùng suy luận và các kiến thức toán học để đi đến mâu thuẫn.

2. Định lí đảo, điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ.

· Cho định lí dưới dạng " ( ) ( ) , x X P x Q x " Î Þ " (1). Khi đó

( ) P x là điều kiện đủ để có ( ) Q x

( ) Q x là điều kiện cần để có ( ) P x

· Mệnh đề ( ) ( ) , x X Q x P x " Î Þ đúng thì được gọi định lí đảo của định lí dạng (1)

Lúc đó (1) được gọi là định lý thuận và khi đó có thể gộp lại thành một định lí

( ) ( ) , x X Q x P x " Î Û , ta gọi là " ( ) P x là điều kiện cần và đủ để có ( ) Q x "

Ngoài ra còn nói " ( ) P x nếu và chỉ nếu ( ) Q x ", " ( ) P x khi và chỉ khi ( ) Q x ",

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

➢DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG . 1. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n và 3 n chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3.

Lời giải:

Giả sử n không chia hết cho 3 khi đó 3 1 n k = + hoặc 3 2 n k = + , k Z Î

Với 3 1 n k = + ta có ( )

3 3 3 2 3 1 27 27 9 1 n k k k k = + = + + + không chia hết cho ba (mâu thuẫn)

DeThi.edu.vn

Với 3 2 n k = + ta có ( )

3 3 3 2 3 2 27 54 36 4 n k k k k = + = + + + không chia hết cho ba (mâu thuẫn)

Vậy n chia hết cho 3.

Ví dụ 2: Cho tam thức ( )

2 , 0 f x ax bx c a = + + ¹ . Chứng minh rằng nếu tồn tại số thực  sao cho

( )  . 0 a f £ thì phương trình ( ) 0 f x = luôn có nghiệm.

Lời giải:

Ta có ( )

2

2 , 4 2 4 b f x a x b ac a a

æ ö D ÷ ç = + - D = - ÷ ç ÷ ç ÷ è ø

.

Giả sử phương trình đã cho vô nghiệm, nghĩa là  0 < .

Khi đó ta có: ( )  2 2 0, 2 4 b af x a x x a

æ ö÷ ç = + - > " Î ÷ ç ÷ ç ÷ è ø

¡

Suy ra không tồn tại  để ( )  0 af £ , trái với giả thiết.

Vậy điều ta giả sử ở trên là sai, hay phương trình đã cho luôn có nghiệm.

Ví dụ 3: Cho , , a b c dương thỏa mãn 1 abc = . Chứng minh rằng nếu 1 1 1 a b c a b c + + > + + thì có một và

chỉ một trong ba số , , a b c lớn hơn một.

Lời giải:

Giả sử ngược lại, khi đó ta có các trường hợp sau:

· TH1: Với ba số đều lớn hơn 1 hoặc ba số đều nhỏ hơn 1 thì mâu thuẫn với giả thiết 1 abc =

· TH2: Với hai trong ba số lớn hơn 1, không mất tính tổng quát giả sử 1, 1 a b > >

Vì 1 abc = nên 1 c < do đó ( )( )( ) 1 1 1 0 1 0 a b c abc a b c ab bc ca - - - < Û + + + - - - - <

1 1 1 a b c ab bc ca a b c a b c Û + + < + + Û + + < + + (mâu thuẫn)

Vậy chỉ có một và chỉ một trong ba số , , a b c lớn hơn một.

Ví dụ 4: Chứng minh rằng một tam giác có đường trung tuyến vừa là phân giác xuất phát từ một đỉnh là tam giác cân tại đỉnh đó.

Lời giải:

Giả sử tam giác ABC có AH vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác và không cân tại A.

Khôngmất tính tổng quát xem như AC AB > .

Trên AC lấy D sao cho AB AD = .

Gọi L là giao điểm của BD và AH .

L

H B C

A

D

DeThi.edu.vn