Chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán - Số phức

1

CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC (12 tiết) Tiết 1, 2, 3

DẠNG ĐẠI SỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC A. Kiến thức cơ bản. 1. Khái niệm số phức

 Số phức (dạng đại số) : (a, b , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1)  z là số thực  phần ảo của z bằng 0 (b = 0) z là thuần ảo  phần thực của z bằng 0 (a = 0) Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.  Tập hợp số phức:

 Hai số phức bằng nhau:

Chú ý: 2. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là

 ;

 z là số thực  ; z là số ảo  3. Môđun của số phức : z = a + bi





  

4. Các phép toán trên số phức. * Phép cộng và phép trừ, nhân hai số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

* Phép chia số phức khác 0. Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 )

Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số z-1=

 Chia hai số phức: .

B. Kĩ năng cơ bản. Tìm phần thực và phần ảo , mô đun, số phức liên hợp của số phức Phương pháp giải Biến đổi số phức về dạng đại số, áp dụng công thức tính. Thực hiện các phép toán trên tập số phức Phương pháp giải

z a bi   R 

  2 , , , 1 z a bi a b i      £ ¡

a a ' a bi a’ b’i (a,b,a ',b' R) b b'         

4k 4k 1 4k 2 4k 3 i 1; i i; i -1; i -i       

z a bi  

1 1

2 2

z z z z ; z z' z z'; z.z' z.z'; z z            

2 2 z.z a b  

z z  z z 

2 2 z a b zz OM    



z 0, z C , z 0 z 0     

z.z' z . z'  z z z' z'  z z' z z' z z'     

' ( ') ( ') ' ( ') ( ') ' ' ' ( ' ' )

z z a a b b i z z a a b b i zz aa bb ab a b i

                

2 2 2 1 1 z z a b z  

2 2 2 2 a + bi aa' - bb' ab' a 'b i a'+ b'i a ' b' a ' b'     

DeThi.edu.vn

2

Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân. C. Bài tập luyện tập. Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo , mô đun, số phức liên hợp của số phức

Giải: a)

Phần thực: 1, phần ảo 2, số phức liên hợp , mô đun:

Phần thực: 5, phần ảo : 5, số phức liên hợp , mô đun:

Phần thực: -5, phần ảo : 4, số phức liên hợp , mô đun:

Bài 2: Tìm số phức liên hợp của:

Giải:

Ta có .

Suy ra số phức liên hợp của z là:

Bài 3: Tìm phần ảo của số phức z biết

Giải:

. Suy ra,

Phần ảo của số phức

Bài 4: Tìm mô đun của số phức

Giải: Ta có:

Vậy mô đun của z bằng:

Bài 5: Cho số phức z = . Tính các số phức sau: ; z2; ( )3; 1 + z + z2

Giải:

*Vì z =  =

*Ta có z2 = = =

 ( )2 =

1 (1 )(3 2 ) 3 z i i i     

3 3 5 5 (3 )(3 ) 10 i i z i i i i        

53 9 10 10 z i  

(1 )(2 ) 1 2 i i z i     5 1 1 5 5 i z i   

2 1 26 1 5 5 z         

3 1 2 2 i  z z

3 1 2 2 i  z 3 1 2 2 i 

2 3 1 2 2 i         

2 3 1 3 4 4 2 i i   1 3 2 2 i 

z

2

2 3 1 3 1 3 1 3 2 2 4 4 2 2 2 i i i i              

) 1 2 a z i      ) 1 2 3 4 b z i i i         2 ) 1 5 2 c z i i    

1 2 z i 

1 2 z i  5 z 

    ) 1 2 3 4 5 5 b z i i i i      

5 5 z i   5 2 z 

    2 ) 1 5 3 5 4 c z i i i     

5 4 z i  41 z 

  

2 2 1 2 z i i   

   1 2 2 1 2 5 2 z i i i      5 2 z i  

2 z 

DeThi.edu.vn