Các công thức Đại số và Giải tích Lớp 10+11+12

Ôn tập toán 10 – 11 - 12

CÔNG THỨC TOÁN HỌC ( 10 – 11 – 12)

1. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức: 1.1. Tính chất 1 (tính chất bắc cầu): a > b và b > c ⇔ a > c 1.2. Tính chất 2: a > b ⇔ a + c > b + c

Tức là: Nếu cộng 2 vế của bắt đẳng thức với cùng một số ta được bất đẳng thức cùng chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho.

Hệ quả (Quy tắc chuyển vế): a > b + c ⇔ a – c > b 1.3 Tính chất 3:

a b a c b d c d >  ⇒ + > + >  Nếu cộng các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều. Chú ý: KHÔNG có quy tắc trừ hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều. 1.4 Tính chất 4:

a > b ⇔a.c > b.c nếu c > 0 hoặc a > b ⇔c.c < b.c nếu c < 0 1.5 Tính chất 5:

0 . . 0 a b a c b d c d > >  ⇒ > > >  Nếu nhân các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều. Chú ý: KHÔNG có quy tắc chia hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều. 1.6 Tính chất 6:

a > b > 0 ⇒ an > bn (n nguyển dương) 1.7 Tính chất 7:

0 n n a b a b > > ⇒ > (n nguyên dương)

2. Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si):

Định lí: Nếu 0 a ≥ và 0 b ≥ thì . 2 a b a b + ≥ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b

Tức là: Trung bình cộng của 2 số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Hệ quả 1: Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chùng lớn nhất khi 2 số đõ bẳng nhau.

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.

Hệ quả 2: Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chùng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau.

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi nhỏ nhất.

http://kinhhoa.violet.vn 1

DeThi.edu.vn

Ôn tập toán 10 – 11 - 12

3. Bất đẳng thức chứa giá trị trị tuyệt đối:

0

0 x x x

>  = −>  Từ định nghĩa suy ra: với mọi x R ∈ ta có: a. |x| ≥ 0 b. |x|2 = x2

c. x ≤ |x| và -x ≤ |x| Định lí: Với mọi số thực a và b ta có:

|a + b| ≤ |a| + |b| (1) |a – b| ≤ |a| + |b| (2) |a + b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b ≥ 0 |a – b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b ≤ 0

4. Định lí Vi-et:

Nếu phương trình bậc 2: ax2 + bx +c = 0 (*) có 2 nghiệm x1 , x2 (a ≠0) thì tổng và tích 2 nghiệm đó là:

S = x1 + x2 = b a −

P = x1.x2 = c

a Chú ý:

+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x1 = 1 và x2 = c

a

+ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x1 = -1 và x2 = c a −

Hệ quả: Nếu 2 số u, v có tổng S = u + v và tích P = u.v thì chúng là nghiệm của phương trình: x2 – S.x + P = 0

5. Chia đoạn thẳng theo tỉ lệ cho trước: a. Định nghĩa: Cho 2 điểm phân biệt A, B. Ta nói điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k nếu MA kMB = uuur uuur

b. Định lí: Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ≠ 1 thì với điểm O bất kì ta có:

1 OA kOB OM k − = −

uuur uuur uuuur

6. Trọng tâm tam giác:

a. Điểm G là trọng tâm tam giác khi và chỉ khi: 0 GA GB GC + + = uuur uuur uuur r

b. Nếu G là trọng tâm tam giác, thì với mọi điểm O ta có: 3OG OA OB OC = + + uuur uuur uuur uuur

7. Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác:

http://kinhhoa.violet.vn 2

nếu x ≥ 0 nếu x < 0

DeThi.edu.vn