Đề cương ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 9

ĐỀ 1

Bài 1 (2,5 điểm)

1) Cho biểu thức x 4 A

x 2  

. Tính giá trị của A khi x = 36

2) Rút gọn biểu thức x 4 x 16 B : x 4 x 4 x 2

             

(với x 0;x 16   )

3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên Bài 2 (2,0 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Hai người cùng làm chung một công việc trong 12

5 giờ thì xong. Nếu mỗi người

làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc? Bài 3 (1,5 điểm)

1) Giải hệ phương trình:

2 1 2 x y 6 2 1 x y

        2) Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = 0 (ẩn x). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện : 2 2 1 2 x x 7   Bài 4 (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.

1) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh · · ACM ACK  3) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C

4) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d sao cho hai

điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và AP.MB R MA  . Chứng minh đường

thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.

Bài 5 (0,5 điểm). Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x 2y  , tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức:

2 2 x y M xy

 

DeThi.edu.vn

ĐỀ 2

Bài 1: (2 điểm)

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a) 2 2 3 0    x x

b) 2 3 7 3 2 4       

x y x y c) 4 2 12 0    x x

Bài 2: (1,5 điểm)

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số 2 1 4  y x và đường thẳng (D): 1 2 2   y x trên cùng

một hệ trục toạ độ.

b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính.

Bài 3: (1,5 điểm)

Thu gọn các biểu thức sau:

1 2 1 1       x A x x x x x với x > 0; 1  x

(2 3) 26 15 3 (2 3) 26 15 3       B

Bài 4: (1,5 điểm) Cho phương trình 2 2 2 0     x mx m (x là ẩn số) a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình.

Tìm m để biểu thức M = 2 2 1 2 1 2

24

6    x x x x đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 5: (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME<MF). Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đối với đường thẳng MO). a) Chứng minh rằng MA.MB = ME.MF b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO. Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp.

c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính MF; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K. Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng CO và KF. Chứng minh rằng đường thẳng MS vuông góc với đường thẳng KC.

d) Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS và T là trung điểm của KS. Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng.

DeThi.edu.vn