Một số phương pháp tìm GTLN, GTNN - Chuyên đề Cực trị của một biểu thức

CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC

I. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC

1. Cho biểu thức f(x,y,...)

a) Ta nói M giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu max f = M nếu hai điều

kiện sau đây được thoả mãn:

- Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì:

f(x,y...)  M (M hằng số) (1)

- Tồn tại xo,yo ... sao cho:

f(xo,yo...) = M (2)

b) Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu min f = m nếu hai điều

kiện sau đây được thoả mãn:

- Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì:

f(x,y...)  m (m hằng số) (1’)

- Tồn tại xo,yo ... sao cho:

f(xo,yo...) = m (2’)

2. Chú ý: Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu

thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = (x- 1)2 + (x – 3)2. Mặc dù ta có A  0 nhưng chưa thể

kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0 ta phải giải như sau:

A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2(x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2  2

A = 2 x -2 = 0  x = 2

Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2

II. TÌM GTNN,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN

1. Tam thức bậc hai:

Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c .

Tìm GTNN của P nếu a 0.

Tìm GTLN của P nếu a  0

Giải: P = ax2 + bx +c = a(x2 + b

a x ) + c = a(x + b

2a )2 + c -

2

2 b 4a

Đặt c -

2 b 4a =k . Do (x + b

2a )2  0 nên:

DeThi.edu.vn

- Nếu a  0 thì a(x + b

2a )2 0, do đó P  k. MinP = k khi và chỉ khi x = - b

2a

-Nếu a 0 thì a(x + b

2a )2 `  0 do đó P `  k. MaxP = k khi và chỉ khi x = - b

2a

2. Đa thức bậc cao hơn hai:

Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai

Ví dụ: Tìm GTNN của A = x(x-3)(x – 4)(x – 7)

Giải: A = (x2 - 7x)(x2 – 7x + 12)

Đặt x2 – 7x + 6 = y thì A = ( y - 6)(y + 6) = y2 - 36  -36

minA = -36  y = 0  x2 – 7x + 6 = 0  x1 = 1, x2 = 6.

3. Biểu thức là một phân thức:

a. Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:

Ví dụ: Tìm GTNN của A = 2 2 6x 5 9x   .

Giải: A = 2 2 6x 5 9x   . = 2

2 9x 6x 5    = 2 2 (3x 1) 4    .

Ta thấy (3x – 1)2  0 nên (3x – 1) 2 +4  4 do đó 2 1 (3x 1) 4    1

4 theo tính chất a 

b thì 1

a  1

b với a, b cùng dấu). Do đó 2 2 (3x 1) 4     2 4  A  - 1

2

minA = - 1

2  3x – 1 = 0  x = 1

3 .

Bài tập áp dụng:

Bài 1. Tìm GTLN của BT: 2

1 A x 4x 9   

HD giải:

 

2 2

1 1 1 1 A . max A= x 2 x 4x 9 5 5 x 2 5         

.

Bài 2. Tìm GTLN của BT: 2

1 A x 6x 17   

HD Giải:

 

2 2

1 1 1 1 A . max A= x 3 x 6x 17 8 8 x 3 8         

Bài 3. (51/217) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

3 A

2 x 2x 7 

   

DeThi.edu.vn

b. Phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức.

Ví dụ: Tìm GTNN của A =

2

2 3x 8x 6 x 2x 1     .

Giải: Cách 1: Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm

A =    2 2

2 2 x 2x 1 x 4x 4

x 2x 1

    

  = 2 +

2

2 (x 2) (x 1) 

  2

minA = 2 khi và chi khi x = 2.

Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có:

A =

   

2 2 2

2 2 2 3(y 1) 8(y 1) 6 3y 6y 3 8y 8 6 3y 2y 1 y 2y 1 2y 2 1 y y 1 2 y 1 1

                    

= 3 - 2

y + 2 1 y = ( 1

y -1)2 + 2

minA = 2  y = 1  x – 1 = 1  x = 2

Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH)

Bài 1. (13/200) Tìm GTNN và GTLN của bt:

2

2

x 1 P x x 1    

Bài 2. (36/210) Tìm GTNN của bt:

2

2 x 2x 2006 B x   

Bài 3. (45/ 214) Tìm GTNN và GTLN của bt:

2

2

x C x 5x 7   

Bài 4. (47, 48 /215) Tìm GTNN của bt:

2

2 x 2x 2 D x 2x 3      ;

2

2 x 2x 1 E 2x 4x 9     

c. Các phân thức dạng khác:

Ví dụ: Tìm GTNN và GTLN của A = 2 3 4x x 1 



Giải Để tìm GTNN, GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số:

A =

2 2

2 x 4x 4 x 1 x 1      =

2

2 (x 2) x 1 

 - 1  -1

Min A= -1 khi và chỉ khi x = 2

Tìm GTLN A =

2 2

2 4x 4 4x 4x 1 x 1      = 4 -

2

2 (2x 1) x 1 

  4

DeThi.edu.vn