Chuyên đề Tứ giác nội tiếp - Hình học Lớp 9

Chuyên đề tứ giác nội tiếp 1

B

D

O A C

M

CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP

I. Kiến thức cần nhớ:

Để giải được các bài toán liên quan đến tứ giác nội tiếp học sinh cần nắm chắc các kiến thức cơ bản sau:

1. Định nghĩa tứ giác nội tiếp: HS nắm chắc định nghĩa số 6, phần ôn tập chương III, SGK Toán 9, tập 2-Trang 101. 2. Tính chất tứ giác nội tiếp: HS nắm chắc định lý 14, phần ôn tập chương III, SGK Toán 9, tập 2-Trang 103. 3. Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: HS nắm chắc định lý 15 - SGK Toán 9, tập 2- Trang 103 (phần ôn tập chương). 4. Các định lý khác thường được áp dụng:

4-1: Hình thang nội tiếp được trong một đường tròn là hình thang cân và ngược lại. 4-2: Hình bình hành nội tiếp trong một đường tròn là hình chữ nhật và ngược lại. 4-3: Tiếp tuyến của một đường tròn thì vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. 4-4: Đường kính đi qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì vuông góc với dây cung ấy.

4-5: Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy 4-6: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo bằng 1v. II. Bài tập áp dụng: Dạng 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp:

Để chứng minh tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn ta phải áp dụng linh hoạt các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, dưới đây là các phương pháp chứng minh cơ bản.

 Phương pháp 1: Sử dụng tính chất: Nếu tổng số đo hai góc đối diện của một tứ giác nội tiếp bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn. Ví dụ 1:

Cho đường tròn đường kính AB và D là một điểm thuộc đường tròn. Trên tia đối của tia BA lấy một điểm C. Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt đường thẳng AD tại M. Chứng minh rằng tứ giác MCBD nội tiếp. Hướng dẫn: Hãy chỉ ra (Chú ý: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo bằng 1v).

Ví dụ 2:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng vuông góc với AO tại trung điểm I của AO cắt AC tại M và cắt tiếp tuyến tại C của đường tròn ë E.

a. Chứng minh tứ giác OCEI nội tiếp được trong một đường tròn. b. Chứng minh tứ giác IMCB nội tiếp được trong một đường tròn.

· · 0 180 MCB MDB  

DeThi.edu.vn

Chuyên đề tứ giác nội tiếp 2

M

O B

S

E

A

C

I

0 A 0' B

F

E

C

Hướng dẫn:

a. Chỉ ra b. Chỉ ra (Chú ý: Tiếp tuyến của một đường tròn thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm). Ví dụ 3:

Cho hai đường tròn (O) và (O’)tiếp xúc ngoài tại A. Đường nối tâm cắt (O) và (O’)tại điểm thứ hai tương ứng là B và C. Gọi EF là một tiếp tuyến trung ngoài( F thuộc (O) và E thuộc (O’)).

a. Chứng minh rằng tam giác FAE vuông tại A. b. Chứng minh rằng tứ giác BCEF nội tiếp. Hướng dẫn:

a. Cách 1: Kẻ tiếp tuyến chung tại A và chứng minh tam giác FAE vuông tại A dựa vào tính chất trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông. Cách 2:Tính tổng sđ hai góc trong tam giác FAE và biến đổi bằng 900

b. Tính tổng sđ hai góc đối diện của tứ giác: ( ) Ví dụ 4:

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại Avà B. Qua A vẽ hai cát tuyến CAD và EAF (C,E  (O); D,F  (O’)). Đường thẳng CE cắt đường thẳng DF tại P. Chứng minh tứ giác BEPF nội tiếp

Hướng dẫn:

Cách 1: Ta có (góc ngoài ) mà

(góc ngoài của tứ giác ABCE nội tiếp) nên Mà tứ giác ABFD nội tiếp nên   BEPF là tứ giác nội tiếp.

Cách 2: Có

(Tổng 3 góc trong tam giác ABC) Nhận xét:

· · 0 180 EIO OCE   · · 0 180 MIB BCM  

· · 1 2 AFE FOA 

· · ' 1 2 AEF AO E 

· · · · ' 0 0 1 1 ( ) .180 90 2 2 AEF AFE AOO AO E     

· · · · · 0 180 FBC FEC AFE AEF AEC      · 0 90 AEC 

· · · BEP ECB EBC   · · ECB BAF  · · · EBC EAC DAF   · · · · BEP BAF DAF BAD    · · 0 180 BAD BFD   · · 0 180 BEP BFP  

· · · · · · · · 0 180

PEB PFB PEF AEB PFB

ABC ACB CAB

   

   

B

A

P

O

O'

E

F

C

D

DeThi.edu.vn