Chuyên đề luyện thi vào Lớp 10 - Môn Toán - Phần I Số học - Trần Trung Chính

.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :.

Biên soạn: Trần Trung Chính 1

CHUÛ ÑEÀ 1

SOÁ CHÍNH PHÖÔNG

1. Kiến thức cơ bản: Định nghĩa: Số nguyên A đƣợc gọi là số chính phƣơng nếu tồn tại số nguyên dƣơng a sao cho:

A = a2

Phát biểu: Số chính phƣơng là số bằng bình phƣơng của một số tự nhiên. Lƣu ý: Mƣời số chính phƣơng đầu tiên là: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,... Tính chất: Số chính phƣơng có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9. Số chính phƣơng chia cho 3 chỉ có thể dƣ 0 hoặc 1. Kí hiệu: 3n và 3n + 1, (n N) Số chính phƣơng chia cho 4 chỉ có thể dƣ 0 hoặc 1. Kí hiệu: 4n và 4n + 1, (n N) Vận dụng tính chất: Nếu hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phƣơng thì mỗi số a, b cũng là một số chính phƣơng. Khi phân tích một số chính phƣơng ra thừa số nguyên tố ta đƣợc các thừa số là lũy thừa của số nguyên tố với số mũ chẳn. Ví dụ: 3600 = 602 = 24.32.52 Một số cách nhận biết số không chính phương N: (1) Chứng minh N có chữ số tận cùng là 2,3,7,8. (2) Chứng minh N chứa số nguyên tố với mũ lẽ. (3) Xét số dƣ khi N cho 3 hoặc cho 4 hoặc cho 5 cho 8. (4) Chứng minh N nằm giữa hai số chính phƣơng liên tiếp. (5) N chia cho 3 dƣ 2; N chia cho 4; 5 có số dƣ là 2; 3. (6) Một số tính chất về số dƣ khi chia cho 5, 6, 7, ... các bạn có thể tự suy ra bằng cách đặt số ban đầu là nk + q (Ví dụ: 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, ...). Lưu ý: Khi Giải các bài toán về số chính phƣơng ta có thể áp dụng "phƣơng pháp modun (mod)", nghĩa là xét số dƣ của các số chính phƣơng khi chia cho 1 số nguyên nào đó. Ví dụ 1: Tìm k để 4k + 3 = a2 Giải Giả sử: 4k + 3 = a2. Khi đó: a2  3 (mod 4) (1) Ta lại có, nếu a là số chính phƣơng thì a2  0, 1 (mod 4) (2) Từ (1) và (2) thì vô lý. Vậy không có số k thỏa mãn 4k + 3 là số chính phƣơng. Ví dụ 2: Tìm a  N* để phƣơng trình sau có nghiệm nguyên:

x2 + 2ax - 3a = 0 Giải Xét ' = a2 + 3a. Để phƣơng trình trên có nghiệm nguyên thì a2 + 3a phải là số chính phƣơng. a2 < a2 + 3a < a2 + 4a + 4  a2 < a2 + 3a < (a + 2)2 Do đó: a2 + 3a = a2 + 2a + 1  a = 1. Với a = 1 thì phƣơng trình có nghiệm nguyên là x = 1 hay x = -3. 2. Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phƣơng: a. n2 + 2n + 12 b. n (n+3) c. n2 + n + 1589 Giải

www.VNMATH.com

VIETMATHS.NET

DeThi.edu.vn

.: CHUYÊN ĐỀ ÔN THI MÔN TOÁN VÀO LỚP 10 THPT :.

Biên soạn: Trần Trung Chính 2

a) Vì n2 + 2n + 12 là số chính phƣơng nên đặt: n2 + 2n + 12 = k2 (k  N)

 (n2 + 2n + 1) + 11 = k2  k2 – (n + 1)2 = 11  (k + n + 1)(k - n - 1) = 11 Nhận xét thấy k + n + 1 > k - n - 1 và chúng là những số nguyên dƣơng, nên ta có thể viết

(k + n + 1)(k - n - 1) = 11.1  k + n +1=11 k -n -1=1   

 k = 6 n = 4   

Vậy n = 4. Bài tập 2: Cho A là số chính phƣơng gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta đƣợc số chính phƣơng B. Hãy tìm các số A và B. Giải Gọi A = abcd = k2. Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số B = (a +1)(b +1)(c +1)(d +1) = m2, với k, m  N và 32 < k < m < 100; a, b, c, d  N ; 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c, d ≤ 9

 m2 – k2 = 1111  (m - k)(m + k) = 1111. Xét các trƣờng hợp, kết quả: A = 2025 , B = 3136 . Bài tập 3: Tìm a để 17a + 8 là số chính phƣơng. Giải Giả sử luôn tồn tại y  N sao cho: 17a + 8 = y2. Khi đó:  17(a - 1) = y2 - 25  17(a - 1) = (y + 5(y - 5)

 y - 5 17

y + 5 17  





 y = 17n  5  a = 17n2  10n + 1. Bài tập 4: Chứng minh 3n + 63 không chính phƣơng, (n N, n ≠ 0, 4) Giải Xét n lẻ. Đặt: n = 2k + 1, (k N) Ta có: 32k+1  (-1)2k+1(mod 4)  -1 (mod 4). 63  3 (mod 4)  32k+1 + 63  2 (mod 4)  3n + 63 không chính phƣơng. Xét n chẵn. Đặt n = 2k, (k ≠ 0). Vì y  3 nên ta đặt: y = 3t, (t  N) Khi đó, ta có: 32k + 63 = 9t2. 32k-2 + 7 = t2  t2 - (3k-1)2 = 7  (t - 3k-1)(t + 3k+1) = 7



k-1 t - 3 = 1 k+1 t + 3 = 7

  

 2. 3k-1 = 6  3k-1 = 3  k = 2  n= 4 (trái với giả thiết đề bài) Vậy 3n + 63 không là số chính phƣơng với (n ≠ 0, 4).

DeThi.edu.vn