7 cách giải cho một bài Hình học Lớp 9 hay và khó

7 cách giải cho một bài hình hay và khó

Lời bàn: Hôm bữa có em Nguyễn Hồng gửi bài toán khó lên violet để nhờ trợ

giúp. Thấy bài toán hay nên tôi đã đề xuất thêm nhiều cách giải cho bài toán.

Các bạn và thầy cô tham khảo để có thể kiếm thêm nhiều cách giải nữa !.

Đề bài: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn có 3 đường cao AD, BE, CF cắt

nhau tại H. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải

Cách 1: Dùng các tam giác đồng dạng ( không kẻ thêm đường phụ)

Từ các tam giác đồng dạng chứng minh được: AF.AB = AH.AD = AE.EC

; BF.AB = BD.BC ; EC.AC = CD.BC ; DB.DC = HD.AD

Biến đổi:

Cách 2: Dùng định lý ta let có kẻ thêm đường phụ

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BE và CF lần lượt tại M và N

Áp dụng liên tiếp định lý ta let ta có:

DeThi.edu.vn

Cách 3: Dùng định lý ta let có kẻ thêm đường phụ (theo cách giải của người giải

giangtienhai )

Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt FC tại K. Qua C kẻ đường thẳng

song song với AD cắt BE tại L

Áp dụng liên tiếp định lý ta let ta có:

Cách 4: Dùng định lý ta let có kẻ thêm đường phụ

Trên tia đối tia DA lấy các điểm P và Q sao cho FC // BP và QC // BE

Áp dụng liên tiếp định lý ta let ta có:

Nhận xét: Cách giải 3 và 4 na ná giống nhau

Cách 5: Dùng định lý Menelaus ( không kẻ thêm đường phụ)

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ACD với 3 điểm B, H, E

Lập luận tương tư ta cũng có

Cộng vế theo vế ta có

Cách 6: Dùng định lý Ceva + Talet có kẻ thêm đường phụ

Trên cạnh AC lấy điểm S sao cho BE // DS.

Theo định lý ta let ta có: và

Áp dụng định lý Ceva trong tam giác ABC với 3 đường cao đồng quy tại H

DeThi.edu.vn

=>

Cách 7: Dùng tỉ số diện tích tam giác với dãy tỉ số bằng nhau ( không kẻ thêm

đường phụ)

Kí hiệu S là diện tích

Ta có:

Lập luận tương tự ta cũng có:

Ta cũng có:

So sánh các kết quả trên cho

------------------------------------------------------------------------------

Bình luận

Qua các cách giải trên cho thấy rằng dữ kiện 3 đường cao trong tam giác là

không cần thiết !. Do vậy cách giải 1 sẽ không hiệu quả nếu AD, BE, CF không

phải là 3 đường cao trong 1 tam giác

Nhận định rằng cách giải nhanh nhất là vẽ thêm đường phụ. Tuy nhiên có thể

thấy rằng cách giải 2 là tiện lợi nhất vì thông với tất cả dữ liệu tam giác cần

chứng minh

Cách 3 và cách 4 chứng minh tương tự nhau là để làm sao hệ thức tỉ lệ xuất hiện

AH. Tuy nhiên, cũng cần có kĩ năng biến dổi lắt léo một chút.

Cách 5 là một cách tiện lợi. Tuy nhiên, định lý Menelaus là một định lý khá khó

vi nó là tích của 3 hệ thức nhân với nhau. Muốn giải phải sử dụng tam giác hệ

thức cần chứng minh. Định lý Menelaus không được dạy trong chương trình

THCS

DeThi.edu.vn

Cách 6 là một cách giải có kết hợp định lý ceva và talet. Nhưng khó ở chỗ kẻ

đường phụ làm sao để kết hợp với ceva biến đổi hệ thức tích thành tổng. Đây là

một kĩ năng chứng ming tương đối cao

Cách 7 hay ở chỗ chỉ sử dụng tỉ số diện tích trong tam giác. Do vậy học sinh lớp

7 vẫn có thể giải được một cách dễ dàng. Nhưng phải kết hợp với dãy tỉ số bằng

nhau về tích và tổng trong một tam giác. Nếu không biết vận dụng phù hợp thì

các tam giác sẽ xuất hiện rất cồng kềnh

Qua các cách giải trên, hy vọng các thầy cô có thể tìm thêm nhiều cách giải khác

nữa dựa trên các lời giải trên. Hy vọng trong việc giải một bài hình học, việc tìm

ra nhiều cách giải sẽ giúp chúng ta sáng tạo thêm các hệ thức mới. Cũng như

trình độ nhận biết các hệ thức rất nhanh nhạy và thuần thục.

DeThi.edu.vn