Gợi ý cách giải khác bài hình của thầy Giang Tiền Hải

Gợi ý cách giải khác bài hình của thầy Giang Tiền Hải

Nhận xét: Vì thầy đã đưa ra lời giải cho bài toán cho nên tôi đưa ra lời giải của

riêng tôi cho mọi người tham khảo. Đồng thời tôi cũng đưa ra một số bài khó và

nâng cao hơn từ bài toán gốc của thầy.

Đề bài: Trên 3 cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC lần lượt lấy các điểm

D, N, M sao cho góc BDM = góc CDN. Đường thẳng qua D vuông góc với BC

cắt MN tại E. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của BE và EC, MH cắt NK tại

S. Chứng minh: AS đi qua trung điểm I của BC.

Hướng dẫn giải

Để giải được bài toán này chúng ta cần 2 công thức hình học như sau:

DeThi.edu.vn

Công thức 1: Định lý Menelaus: Cho tam giác ABC, 3 điểm M, N, I lần lượt

thuộc các đường thẳng AB, AC, BC. Khi đó 3 điểm M, N, I thẳng hàng khi và

chỉ khi

Để chứng minh định lý này thầy cô và các học sinh có thể tham khảo trên mạng,

ở đây không chứng minh lại.

Công thức 2: Hệ quả ta let: Cho tam giác ABC. Đường thẳng song song với BC

cắt đường thẳng AB và AC lần lượt tại D và E. Trên DE lấy điểm M bất kỳ, cho

AM cắt BC tại N thì ta có các hệ thức sau:

Để chứng minh công thức trên chỉ việc sử dụng hệ quả ta let trong các tam giác.

Bài toán đúng trong trường hợp đường thẳng song song cắt bên trong tam giác

và cắt bên ngoài 2 tia đối của tia BA và CA

Quay trở lại bài toán cần giải quyết

Trường hợp 1: Nếu cạnh MN song song với BC

DeThi.edu.vn

Dễ thấy MN vuông góc với DE và góc DMN = góc BDM = góc NDC = góc DNM

nên tam giác DMN cân tại D từ đó suy ra EM = EN. Dễ thấy HK là đường trung

bình của tam giác BEC nên BC = 2HK và MN // HK // BC. Kết hợp với giả

thuyết cho EB = 2EH. Áp dụng hệ quả ta let kết hợp với các kết quả trên ta có:

=> 3 điểm A, E, S thẳng hàng theo định lý Menelaus trong tam giác BHM

Cho AE cắt BC tại I thì theo công thức 2 ta có

Mà theo như trên đã có EM = EN => IB = IC. Vậy SA đi qua trung điểm I của

BC.

Trường hợp 2: Nếu cạnh MN cắt BC

DeThi.edu.vn

Cho MN cắt BC tai O. Cho HK cắt MN, AB, AS, AC lần lượt tại V, P, T, Q. Qua

E kẻ đường thẳng song song với BC cắt MD, AB, ND, AC lần lượt tại J, L, G, F

Áp dụng định lý menlaus trong tam giác HTS với 3 điểm A, M, P cho:

Áp dụng định lý menlaus trong tam giác KTS với 3 điểm A, N, Q cho:

Từ đó suy ra (1)

Dễ thấy HK là đường trung bình tam giác EBC nên LF // PQ // BC. Dễ thấy DE

vuông góc với GJ và góc DJE = góc BDM = góc CDN = góc DGE nên tam giác

DJG cân tại D từ đó suy ra EJ = EG.

Từ LF // PQ dễ chứng minh được KQ là đường trung bình tam giác EFC nên

EF = 2QK. Chứng minh tương tự ta có LE = 2PH

Áp dụng công thức 2 từ các đoạn thẳng song song ta có:

DeThi.edu.vn

Kết hợp các kết quả trên ta có:

=> (2)

Mặt khác áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SHK với 3 điểm V, M, N

=> (3)

Từ (1) , (2) , (3) => => PT = QT

Mà lại có . Do vậy mà IB = IC nói cách khác AS đi qua trung điểm I

của BC.

Bài toán được chứng minh xong trong cả 2 trường hợp.

Nhận xét:

Đây quả là bài toán hay và khó. Tuy nhiên các bạn thầy cô sẽ thắc mắc tại sao

trường hợp 1 vẫn xảy ra là MN // BC. Đơn giản thôi. Vẽ đường trung tuyến AI

của tam giác ABC. Trên AI lấy điểm E bất kỳ. Kẻ ED vuông góc với BC tại D.

Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại M và cắt AC tại N. Vậy ta

đã dựng được 3 điểm D, M, N theo yêu cầu của bài toán

Ở trường hợp 2, HK vẫn cắt được MN lí do là HK // BC, BC cắt MN cho nên

HK vẫn cắt được MN. Để giải quyết bài toán trên, phải sử dụng công cụ rất

mạnh là rất nhiều định lý hệ quả ta let kết hợp với 3 cặp tam giác Menelaus mới

giải được !. Điều này cho thấy bài toán này trở nên rất khó đối với HS lớp 9, sử

dụng các công cụ khác như tam giác đồng dạng, tỉ số diện tích sẽ khó giải quyết

bài toán hơn. Trong đó công cụ Menelaus đủ mạnh để giải quyết bài toán này.

Thông qua lời giải trên tôi mong muốn các bạn và thầy cô cũng như thầy Hải

tìm thêm các cách giải khác của bài toán này.

Thông qua bài toán trên tôi có 3 đề xuất như sau:

Đề xuất 1: Cũng bài toán trên liệu rằng kết quả bài toán còn đúng nếu như:

1/ Điểm …