Đề thi học sinh giỏi huyện (tham khảo) môn toán năm học 2014 - 2015 - Trường THCS Lưu Văn Mót

PHÒNG GD-ĐT VŨNG LIÊM TRƯỜNG THCS LƯU VĂN MÓT

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN (tham khảo) MÔN TOÁN NĂM HỌC : 2014 - 2015

Câu 1(2,0 điểm): Tìm x, y thuộc Z biết x – y + 2xy = 6

Câu 2(2,0 điểm): Cho đa thức f(x) = . Xác định a sao cho f(x) chia ?2?3 + 3??2 ‒ 6?‒ 2? hết cho x + 1

Câu 3(5,0 điểm): Giải các phương trình sau:

a) b) ?2 ‒ 4?+ 4 + ?= 8 3?+ 1 = ?+ 4 + 1

Câu 4(3,0 điểm): Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện a 1, b 1. Chứng minh ≥ ≥ rằng

2a ab ?‒ 1 ≤

Câu 5(2,0 điểm): Giải bất phương trình sau:

?2 ‒ 5?+ 10 < 4

Câu 6(5,0 điểm): Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến(d) và (d’) với đường tròn (O). Một đường thẳng Qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O từ một tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng (d’) ở N.

a) Chứng minh tam giác NMP cân b) Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (O) c) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất .

Câu 7(1,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại a, đường cao AH. Biết AB = 3, HC = 8. Tính độ dài BC.

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM

Câu 1: x – y + 2xy = 6 2x – 2y +4xy -1 = 11 (2x – 1)(2y + 1) = 11 (1,0 điểm) ⇔ ⇔

Tính được (x;y) = (6;0) hoặc (-5; -1) (1,0 điểm)

Câu 2: Ta có f(x) = (x +1).H(x)

f(-1)= -a2+a+6 = 0 (1,0 điểm)

Giải phương trình tìm được a = -2 hoặc a = 3 (1,0 điểm)

Câu 3:

a) ĐK: x (0,5 điểm) ≥

‒ 1

3

Bình phương 2 vế, thu gọn đươc kết quả: x – 2 = ; Đk: x (1,0 ?+ 4 ≥2 điểm)

Tiếp tục bình phương 2 vế, ta có: x2 -5x = 0

Giải pt tìm được x = 0 (loại) hoặc x = 5(nhận) (1,0 điểm)

b) Biến đổi phương trình được (1,0 điểm) |?‒ 2| = 8 ‒ ?

Giải phương trình tìm được x = 5 (1,5 điểm)

Câu 4: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm (b-1) và 1, ta có:

(2,0 điểm) (?‒ 1).1 ≤

? 2

ThuVienDeThi.com

Nhân cả 2 vế cho 2a, ta được điều cần chứng minh. (1,0 điểm)

Câu 5: Biến đổi bất phương trình, ta được

(x – 2)(x – 3) < 0 (1,0 điểm)

Giải tìm được 2 < x < 3 (1,0 điểm)

Câu 6:

P

I

O

N

B

M

A

a) Chứng minh hai tam giác AOM và BOP bằng nhau (g.c.g)

Suy ra OM = OP

Và ON vuông góc với MP (gt)

Suy ra Tam giác NMP cân (Vì NO vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến) ( 2,0 điểm)

b) Trong tam giác can NMP có NO là đường cao đồng thời cũng là đường phân giác

Suy ra OI = OB = R ( Tính chất các điểm nằm trên phân giác của góc)

ThuVienDeThi.com

Có MN vuông góc với bán kính OI

Suy ra MN là tiếp tuyến của đường tròn (O). (2,0 điểm)

c) Chứng minh được tứ giác AMNB là hình thang vuông

Tính được Diện tích tứ giác AMNB = MN.R

MN nhỏ nhất khi MN // AB

Hay AMNB là hình chữ nhật

Suy ra SM = NB = R (1,0 điểm)

Câu 7: Đặt BH = x

ÁP dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

AB2=BC.BH suy ra 9 = (x + 8).x

Giải phương trinh tính được: x = 1, suy ra BC = 9 (1,0 điểm)

ThuVienDeThi.com