Đề thi học sinh giỏi cấp huyện. vòng 2 năm học 2012 2013. môn thi Toán 9

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG 2

NĂM HỌC: 2012 – 2013. Môn thi: TOÁN 9

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2.0 điểm ). Rút gọn các biểu thức sau:

 

1 1 1 1 1 2 1 x x P x

x x x

                  

a. Rút gọn . P b. Tính giá trị của khi . P 7 4 3 x   c. Chứng minh: 1 P 

Bài 2: (2.0 điểm). Giải các phương trình

a. Cho . Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá 0 90o x   trị của biến:

. 6 6 2 2 2 2 2 2 sin os 3sin . os tan . os cotan .sin x x x c x c x x c x x    

b. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 3 4 19 x y x   

Bài 3: (2.0 điểm)

a. Cho các số nguyên dương: sao cho: 2013 1 2 3 ; ; ;...; a a a a N = chia hết cho 30. 1 2 3 2013 ... a a a a     Chứng minh: M = chia hết cho 30. 5 5 5 5 1 2 3 2013 .... a a a a     b. Cho thỏa mãn: . Chứng minh: ;x y 2 2 2 4 0 x y x y     2 10 x y   Bài 4: ( 2,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD cạnh . Trên cạnh AB lấy điểm N, CN cắt đường a thẳng DA tại E. Đường thẳng qua C vuông góc CN tại C cắt đường thẳng AB tại F. Diện tích tứ giác ACFE là 3 . 2 a

a. Chứng minh: N là trung điểm AB.

b. Tính CF theo a

Bài 5: (1,5 điểm)

Cho đường tròn cố định (O; R) đi qua đoạn thẳng BC cố định. Điểm M di chuyển trên đường tròn (O), M không trùng với B; C. Gọi G là trọng tâm tam giác MBC. Chứng minh rằng điểm G di động trên một đường tròn cố định.

Hết./.

Họ và tên thí sinh……………………………………...……….SBD………….…………

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề gồm 1 trang)

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI 9. MÔN: TOÁN

Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang Bài Ý Nội dung cần đạt Điểm

a 1,0

ĐK: 0; 1 x x       1 1 1 (2 1) 1 1 1 1 2 1 (1 ) 2 1

2 1 1 1 .

2 1

x x x x x x x P x x x x x x x x

x x x x x x x x

                                  

       

0.25x4

b 0.5

7 4 3 2 3

7 4 3 2 3 1 6 2 3 3 2 3 2 3

x x

P

    

         

0.25 0.25 1. 2.0

c. 0.5

1 1 1 1 2 . 1 1 x x P x x P x x x        

Dấu “=” xẩy ra khi: ; mà không thuộc TXĐ 1 1 x x x    1 x 

Vậy 1 P 

0.25

0.25

2a. 1.0   

2

6 6 2 2 2 2 2 2

2 2 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

. .

1 1 2

sin os 3sin . os tan . os cotan .sin sin os sin os 3sin . os (sin os ) os sin os sin sin os sin os

x x x

x x

x x x x

c x c x x c x x x c x c x c x x c x c x x c x x c c



 

   

    

  

Giá trị biểu thức bằng 2. không phụ thuộc giá trị của x

0.25x4

2. 2.0

2b. 1.0

2 2 2 2 2 2 2 3 4 19 2( 2 1) 3(7 ) 2( 1) 3(7 ) x y x x x y x y             là số nguyên lẻ 2 2 3(7 ) 2 7 2 y y        y Mà  

2 2 2 2. 1 0 7 0 1 x y y        HS tìm rồi thay vào tìm để tìm ra các cặp nghiệm: (2; 1); (2; -1); y x (-4; 1); (-4; -1)

0.25

0.25 0.25 0.25

3. 2.0

3a. 1.0

- HS lập luận: chia hết cho 6. vì có tích 3 số tự nhiên liên 5 2 1 1 1 1 1 1 ( 1)( 1)( 1) a a a a a a      tiếp. - HS lập luận: chia hết cho 5. (Chia các trường hợp để 5 2 1 1 1 1 1 1 ( 1)( 1)( 1) a a a a a a      xét: ) 1 1 1 5 ; 5 1; 5 2 a k a k a k     

Mà (5; 6) = 1 nên 5 1 1 30 a a  

Xét tương tự và suy ra được: 1 2 3 2013 5 5 5 5 1 2 3 2013 30 .... a a a a a a a a          Hay - 5 5 5 5 1 2 3 2013 .... a a a a     1 2 3 2013 30 ... a a a a      30 M N    Theo giả thiết: 30 30 N M   

0,25

0.25

0.5

ThuVienDeThi.com