Đế thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2012 - 2013 môn Toán

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NGÃI

ĐẾ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (3 điểm)

Cho . 1 3 2 3 2 2( 3 1) x    

Tính giá trị của biểu thức: .

2015 2016

2 4(x 1)x 2x 2x 1 A 2x 3x      

Bài 2. (3 điểm)

Giải phương trình:   2 2 2x 2x 1 2x 3 ( x x 2 1).      

Bài 3. (3 điểm)

Tìm các số nguyên x, y thoả mãn:     2 2 2013 3 2y 2x 1 2x 2y 1 1 x y .    

Bài 4. (3 điểm)

Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c . Biết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0.

Chứng minh rằng: 5a 3b 2c 1. a b c     

Bài 5. (3 điểm)

Cho đường tròn (O;R), điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Trên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và song song với BC, lấy điểm P. Đường tròn đường kính OP cắt đường tròn (O) tại M, N. Chứng minh: PM = PN = PA.

Bài 6. (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại C, có . Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, A 0 BAC 30 

lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC. Chứng minh rằng: 2 2 2 3BD 5AD 5CD DC 2DA.    

Bài 7. (2 điểm)

Cho a, b, c là các số thực thoả mãn 0 < a, b, c <1 và ab + bc + ca = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2 a (1 2b) b (1 2c) c (1 2a) P . b c a      

--- Hết ---

Họ và tên thí sinh:............................................................. Số báo danh :................

ThuVienDeThi.com

2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NGÃI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

(Gồm 04 trang)

CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM

Câu 1 Cho .Tính giá trị của biểu thức: . 1 3 2 3 2 2( 3 1)     x

2013 2012

2 4( 1) 2 2 1 2 3 x x x x A x x       3.0

4 2 3 4 2 3 4 2     x 0.5

2 ( 3 1) 3 1 2 2     0.5

là nghiệm của phương trình: 2x2+2x-1=0 3 1 2

  x 0.5

2 2012

2 2(2 2 1) 2 1 (2 2 1) 1          x x x x A x x x 0.5

2 1 1 2 1 1       x x x 0.5

2 2( 3 1) 2 2 2 3 1 3 3 2 3 1

          Vậy 3 3.   A

0.5

Câu 2 Giải phương trình:   2 2 2x 2x 1 2x 3 ( x x 2 1) (1)       3.0

Đặt 2 2 2 t x x 2 x t x 2       

Thay vào pt(1) ta có pt:   2 2 x 2x 1 t x 2 2x 3 (t 1)        0.5

  2t 2x 3 t (x 1)(x 2) 0       

t x 1 t x 2      

0.5

Với ta có pt: t x 1   2 x x 2 x 1    

 

2 2 x 1

x x 2 x 1

       

0.5

2 2 x 1

x x 2 x 2x 1

x 1 x 1 x 1

        

       

0.5

Với ta có pt: t x 2   2 x x 2 x 2    

 

2 2 x 2

x x 2 x 2

       

0.5

2 2 x 2 x 2 2 x 3x 2 3 x x 2 x 4x 4

                  

Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm 2 x 1, x . 3   

0.5

ThuVienDeThi.com

3

Câu 3 Tìm các số nguyên x, y thoả mãn:     2 2 3 3 2y 2x 1 2x 2y 1 1 x y (1)     3.0

Ta có (1)

3 3 4xy(x y) 2(x y) 1 x y      0.5

Đặt vì x, y nguyên nên a, b nguyên. a x y

b xy

    

Khi đó ta có pt : với a, b nguyên 3 4ab 2a 1 b  

0.5

(vì b nguyên nên 2b - 1

3 b 1 2a 2b 1

    0)  0.5

2 7 16a 4b 2b 1 2b 1      0.5

Vì a, b nguyên, nên 2b – 1 phải là ước của 7

b 1 a 0 2b 1 1 1 b 0 a (L) 2b 1 1 2 2b 1 7 9 b 4 a (L) 2 2b 1 7

b 3 a 2

                        

  

0.5

Với a = 0, b = 1 ta có hệ

x y 0 x y 1 xy 1

         0.25

Với a = 2, b = -3 ta có hệ 2 y x 2 x y 2 (VN) xy 3 x 2x 3 0

              

KL : Các số x, y nguyên thoả mãn điều kiện bài toán là : x = y = 1, x = y = -1

0.25

Câu 4

Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c . Biết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0.

Chứng minh rằng: 5 3 2 1 (1).      a b c a b c

3.0

Từ giả thiết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0 suy ra được

2

4 b c a 0.5

Vì P(x) > 0 với mọi x thuộc R nên P(-1)>0 0.5

Suy ra a – b + c > 0. 0.5

Vậy 5 3 2 1 5 3 2 4 2              a b c a b c a b c a c b a b c 0.5

Ta có

2 4 4 4   b a c a a 0.5

Áp dụng BĐT Côsi ta có

2 b 4a 2 b 2b 4a   

4 2    a c …