Đề chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD & ĐT Ninh Hòa

1

PHÒNG GD-ĐT NINH HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC: 2009-2010

Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (3đ) Chứng minh đẳng thức: 5 3 29 12 5    = cotg450

Bài 2: (4đ) Cho biểu thức    

  2 4 1 4 1 1 1 1 4 1

x x x x Q x x x

                 a) Tìm điều kiện của x để Q có nghĩa b) Rút gọn biểu thức Q

Bài 3: (3,5đ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 4 y x x y M xy   

Bài 4: (3,75đ) Chứng minh rằng nếu    

2 2

1 1 x yz y xz x yz y xz     

với , 1, 1, 0, 0, 0 x y yz xz x y z      

thì 1 1 1 x y z x y z     

Bài 5: (3,75đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC. Từ đỉnh M vẽ góc 450 sao cho các cạnh của góc này lần lượt cắt AB, AC tại E, F.

Chứng minh rằng: EF

1 4 M ABC S S   

Bài 6: (2đ) Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường thẳng đi qua các trung điểm của AB và AC. Kẻ tiếp tuyến MK của đường tròn (O). Chứng minh MK = MA

ĐỀ CHÍNH Ứ

ThuVienDeThi.com

2

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Bài Nội dung – Yêu cầu Điểm 1

5 3 29 12 5     

2 5 3 2 5 3    

5 6 2 5   

 

2 5 5 1   

= 1 = cotg450

1đ

0,5đ

0,75đ

0,25đ

0,5đ 2a

Bài 2: (4đ) Cho biểu thức    

  2 4 1 4 1 1 1 1 4 1

x x x x Q x x x

                 a) Tìm điều kiện của x để Q có nghĩa b) Rút gọn biểu thức Q Q có nghĩa 1 x   và 2 x 

0,5đ

2b    

  2 4 1 4 1 1 1 1 4 1

x x x x Q x x x

                

   

2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 4

x x x x x Q x x x

           

   

 

2 2

2

1 1 1 1 2 1 2

x x x Q x x

       

1 1 1 1 2 2 1

x x x Q x x

        * Nếu 1 < x < 2 ta có:

0,75đ

ThuVienDeThi.com

3

1 1 1 1 2 2 1 x x x Q x x         2 1 Q x  * Nếu x > 2 ta có: 1 1 1 1 2 2 1 x x x Q x x        2

1 Q

x 



0,75đ

0,25đ

0,5đ

0,25đ

0,25đ

0,5đ

0,25

3

Với điều kiện 1, 4 x y   ta có:

M = 4 1 y x

x y

 

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm,

Ta có:   1 1 1 1 1 2 2 x x x x      

1 1 2 x

x

   (vì x dương)

Và:   1 1 4 4 4 4 4 2 2 2 4 y y y y        

4 1 4 y

y

   (vì y dương)

Suy ra: M = 4 1 1 1 3 2 4 4 y x

x y

    

Vậy giá trị lớn nhất của M là 3

4  x = 2, y = 8

0,25đ

0,75đ

0,5đ

0,75đ

0,5đ

0,25đ

0,5đ

4

   

2 2

1 1 x yz y xz x yz y xz           2 2 x yz y xyz y xz x xyz      

2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 0 x y x yz y z xy z xy xy z x z x yz               2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 0 x y xy x yz xy z x z y z x yz xy z         

0,25đ

0,5đ

ThuVienDeThi.com

4

B

F A

B

C

M P

Q

N K E

        2 2 2 2 2 0 xy x y xyz x y z x y xyz x y         

     

2 0 x y xy xyz x y z x y xyz                

2 0 xy xyz x y z x y xyz        (vì 0 x y x y    )

 

2 xy xz yz xyz x y xyz      

 

2 xyz x y xyz xy xz yz xyz xyz

      (vì 0 xyz )

1 1 1 x y z x y z      

0,5đ

0,5đ 0,5đ 0,5đ

0,5đ

0,5đ 5

Kẻ MPAB tại P, MQAC tại Q Kẻ Ex // AC, EC cắt MQ tại K và cắt MF tại N Do EMF = 450 nên tia ME, MF nằm giữa hai tia MP và MQ

1 2 MEN MEK MPEK S S S     

và 1 2 FEN QEK QAEK S S S     ( FEN QEK S S    vì có cùng chiều cao nhưng đáy

EN bé hơn đáy EK)

Suy ra: 1 1 2 2 MEN FEN APMQ MEF APMQ S S S S S        (*)

Chứng minh được: 1 2 MAP MAB S S   

1 2 MAQ MAC S S   

1 2 APMQ ABC S S   (**)

Từ (*) và (**) ta có: EF

1 4 M ABC S S   

0,25đ 0,25đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,25đ

6

ThuVienDeThi.com