Đề ôn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9

Bài 4 (3®): Cho tam giác ABC. Phân giác AD (D  BC) vẽ đường tròn tâm O qua A và D đồng thời tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn này cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Chứng minh

a) EF // BC b) Các tam giác AED và ADC; AFD và ABD là các tam giác đồng dạng. c) AE.AC = AF.AB = AD2 Bài 4:

a) · · » 1 ( ) 2 EAD EFD sdED   (0,25)

· · » 1 ( ) 2 FAD FDC sdFD   (0,25)

mà · · · · EDA FAD EFD FDC    (0,25)  EF // BC (2 góc so le trong bằng nhau) (0,25) b) AD là phân giác góc BAC nên » » DE DF 

sđ · 1 2 ACD  sđ( ¼ » AED DF  ) = 1

2 sđ ằAE = sđ ãADE

do đó · · ACD ADE  và · · EAD DAC   DA  ADC (g.g) (0,5) Tương tự:

sđ · » ¼ » 1 1 ( ) 2 2 ADF sdAF sd AFD DF   

= ¼ » · 1 ( ) 2 sdAFD DE sdABD  

 · · ADF ABD  do đó AFD ~ A (g.g) (0,5) c) Theo trên:

+ AED ~ ADB

 AE AD AD AC  hay AD2 = AE.AC (1) (0,5)

+ ADF ~ ABD  AD AF AB AD 

 AD2 = AB.AF (2) Từ (1) và (2) ta có AD2 = AE.AC = AB.AF (0,5) Câu 3: (2,5®)

Cho biểu thức

A =  

  



   

  





  



1 : 1

1 1

1

x

x x x

x x

x x với x > 0 và x  1

a) Rút gọn A

F E

A

B

C D

ThuVienDeThi.com

2) Tìm giá trị của x để A = 3

Câu 3

a) * ĐKXĐ: x > 0 và x  1 (0.5®)

* Ta có: A =  

  



   

  





  



1 : 1

1 1

1

x

x x x

x x

x x

=  

  



  

  

  





   

  

1 1

)1 ( : 1

1

)1 )( 1 (

)1 )( 1 (

x

x

x

x x

x

x

x x

x x x (0.5®)

=  

  





   

  





  

 

1 : 1

1

1

1

x

x x x

x

x

x

x x (0.5®)

=

1 : 1

1 1

 

   

x

x

x

x x x (0.5®)

=

1 : 1

2

 

 

x

x

x

x = x x

x

x 1

1

2   

  (0.75®)

= x

x  2 (0.5®)

b) A = 3 => x

x  2 = 3 => 3x + x - 2 = 0 (0.25)

=> x = 2/3 (0,5®)

Bài 2(1,5 điểm). Cho biểu thức :

2 2 5 4 2014 M x x y xy y       .

Với giá trị nào của x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó Bài 3(1,5 điểm). Giải hệ phương trình :

   

2 2 18

1 . 1 72

x y x y

x x y y

         

Bài 2.(1,5 điểm) Ta có :

    2 2 4 4 2 1 2 2 2007 M x x y y xy x y            (0,25®)

       2 2 2 1 2 1 2007 M x y x y         (0,25®)

ThuVienDeThi.com

     

2

2 1 3 2 1 1 2007 2 4 M x y y               (0,25®)

Do  

2 1 0 y   và    

2 1 2 1 0 2 x y           ,x y  (0,25®)

2007 M   (0,25®).

min 2007 2; 1 M x y      (0,25®).

Bài 3.(1,5điểm) Đặt :    

1

1

u x x

v y y

    

(0,25®).

Ta có : 18 72 u v uv

     

 u ; v là nghiệm của phương trình :

2

1 2 18 72 0 12; 6 X X X X       (0,25®).

 12 6 u v

   

; 6 12 u v

   

(0,25®).

    

1 12

1 6

x x

y y

      

;    

1 6

1 12

x x

y y

      

(0,25®).

Giải hai hệ trên ta được : Nghiệm của hệ là :

(3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) và các hoán vị. (0,25®). Bài 5(1,5 điểm).Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng :

 

2 2 2 2 a b a b a b b a     

Bài 5 (1,5 điểm) Ta có :

2 2 1 1 0; 0 2 2 a b                  a , b > 0 (0,25®)

1 1 0; 0 4 4 a a b b        (0,25®)

1 1 ( ) ( ) 0 4 4 a a b b         a , b > 0

1 0 2 a b a b       (0,25®)

Mặt khác 2 0 a b ab    (0,25®)

Nhân từng vÕ ta có :      1 2 2 a b a b ab a b            (0,25®)

ThuVienDeThi.com