Đề thi học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Bảng A - La Thị Nguyệt

Đề thi tuyển học sinh giỏi tỉnh bảng A

Môn thi : Toán- Thời gian : 150 phút Người ra đề: La Thị Nguyệt – Giáo viên THCS Đông Thanh - Đông Sơn ------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài 1: Tìm Số tự nhiên n sao cho 28+211+2n là số chính phương.

Bài 2:Tìm giá trị biểu thức

2 4 1

1

a a a

a S

  

  . Trong đó: a là nghiệm dương của

phương trình: 4x2+ 2 x - 2 = 0 Bài 3: Tìm m để phương trình (x2-1)(x+3)(x+5) = m có 4 nghiệm phân biệt

x1;x2;x3;x4 thoả mãn:

1

1 x +

2

1 x +

3

1 x +

4

1 x = -1

Bài 4: Cho 3 số thực x,y,z thoả mãn các điều kiện : 0 < x < y  z1 và 3x +2y +z  4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 3x2 +2y2 +z2 Bài 5: Giải hệ phương trình: x – y2 – yz – z = 0 x – y – y2 – z2 = 0 x + y – y3 – z = 0 Bài 6: Trong một cuộc đấu cờ giữa các học sinh, mỗi người phải đấu với người khác một ván. ë mỗi ván người thắng được 1 điểm, người thua được 0 điểm, còn ë mỗi ván hoà mỗi người được 0,5 điểm. Tham gia cuộc đấu này có các học sinh lớp A và lớp B. Số học sinh lớp B gấp 10 lần số học sinh lớp A. Sau cuộc đấu tổng số điểm của học sinh lớp B bằng 4,5 lần số điểm của học sinh lớp A. Hỏi kết quả của các ván cờ của lớp A như thế nào?. Bài 7: Cho đường tròn(0;R) dây cung BC < 2R. Điểm A chuyển đông trên cung lớn BC, điểm D chuyển động trên cung nhỏ BC. Hãy xác định vị trí của A và D

để tổng : DC DB DA

1 1 1   đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 8: Hai đường tròn(01)và (02) cắt nhau tại A và B. Một điểm P thay đổi trên đường tròn (01), P khác A và B. các đường thẳng PA và PB lại cắt đường tròn (02)theo thứ tự tại D và E. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng đường thẳng PM đi qua một điểm cố định.

------------------*****-------------------

ThuVienDeThi.com

Đáp án Câu (Điểm)

Hướng dẫn giải Điểm

1 2 điểm

Giả sử 28+211+2n=a2 với a N Thì 2n=a2-(28+211)=a2-28(1+23) =a2-482=(a-48)(a+48) Từ đó a+48=2p

a-48=2q Điều kiện p;q N và p+q =n; p>q => 96 = 2p –2q =2q(2p-q-1) <=>2q(2p-q-1) =25.3 <=> 2q = 25 p=7 2p-q-1 =3 q=5 => n=p+q=7+5=12 Thử lại 28+211+212=802

0,5

0,5

0,5

0,5 2 2điểm

Ta thấy phương trình: 4x2+ 2 x- 2 =0 Có tích a.c=-4 2 <0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu và một nghiệm x=a>0 nên ta có 4a2+ 2 a- 2 =0 (1)

Từ (1) => a2=

2 2

1 4

) 1( 2 a a    (2)

Và a4= 8 2 1 8

) 1( 2 2 a a a     (3)

Ta lại có S =

2 4 4 4

2 4

2 4 1 1

1 )( 1 (

1

1 a a a a a a

a a a a

a a a

a       

       

 (4)

Từ (4) (2)và (3) , ta có :

S = 2 2 2

1

2 2

3

2 2

1 1 8 2 1 2

           a a a a a a

0,5

0,5

0,5

0,5

3 2 điểm

Ta có : (x2-1)(x+3)(x+5)=m (1) <=> (x+1)(x+3)(x-1)(x+5) =m <=> (x2+4x+3)(x2+4x-5)=m (2) Đặt y= x2+4x+4=(x+2)2 Khi đó (2)có dạng: (y-1)(y-9)=m hay y2-10y+(9-m)=0 (3) phương trình (1) có 4 nghiệm dương tương đương với phương trình (3) có hai nghiệm dương phân biệt y1>y2> 0. Hay có : /=16+m > 0 S =y1+y2=10 > 0 P =y1.y2=9-m > 0 <=> -16<m<9 (4) Gọi x1;x2là hai nghiệm phân biệt của phương trình: x2+4x+4-y1=0 (5) Gọi x3;x4 là hai nghiệm phân biệt của phương trình: x2+4x+4-y2=0 (6)

0,5

0,5

0,5

ThuVienDeThi.com