270 Bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9

270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS

Trang: 1

PHẦN I: ĐỀ BÀI 1. Chứng minh là số vô tỉ. 2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2) 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2.

4. a) Cho a 0, b 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : .

b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab. 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3. 6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b. 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc  ab(a + b + c) Giải Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a b)2(a + b) 0. 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng : 9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2  4a b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1)  8 Giai a) Xét hiệu : (a + 1)2 - 4a = a2 + 2a + 1 - 4a = a2 - 2a + 1 =(a - 1)2  0. b) Ta có : (a + 1)2  4a ; (b + 1)2 4b ; (c + 1)2  4c và các bất đẳng thức này có hai vế đều dương, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2  64abc = 64.1 = 82. Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8. 10. Chứng minh các bất đẳng thức :

a) (a + b)2  2(a2 + b2) b) (a + b + c)2  3(a2 + b2 + c2) Giải a) Ta có : (a + b)2 + (a -b)2 = 2(a2 + b2). Do (a- b)2  0, nên (a + b) 2  2(a2 + b2). b) Xét : (a + b + c)2 + (a -b)2 + (a -c)2 + (b -c)2. Khai triển và rút gọn, ta đợc : 3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2). 11. Tìm các giá trị của x sao cho :

a) | 2x 3 | = | 1 x |b) x2 4x 5 c) 2x(2x 1) 2x 1.

Giải a)

b) x2 4x  5  (x - 2)2  33  | x - 2 |  3  -3  x - 2 3  -1  x  5. c) 2x(2x -1)  2x- 1  (2x - 1)2  0. Nhng (2x - 1)2  0, nên chỉ có thể : 2x - 1 = 0

Vậy : x = 1

2 .

12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 + 3a + 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

7

a b ab 2  

bc ca ab a b c a b c     

a b a b   

4 2x 3 1 x 3x 4 x 2x 3 1 x 3 2x 3 x 1 x 2 x 2

                        

ThuVienDeThi.com

270 BÀI TOÁN BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU TOÁN THCS

Trang: 2

14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 + 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0. 15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau :

x2 + 4y2 + z2 + 2x + 8y 6z + 15 = 0

16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) :

a) b)

c) d)

18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn nhng nhỏ hơn 19. Giải phương trình : . 20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.

21. Cho .

Hãy so sánh S và .

22. Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì là số vô tỉ. 23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng :

a)

b)

c) .

24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ :

a)

b) với m, n là các số hữu tỉ, n 0.

25. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không ?

26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng : .

27. Cho các số x, y, z dơng. Chứng minh rằng : .

28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ. 29. Chứng minh các bất đẳng thức :

a) (a + b)2 2(a2 + b2)

2

1 A x 4x 9   

7 15 và 7  17 5 1 và 45  

23 2 19 và 27 3  3 2 và 2 3

2 3

2 2 2 3x 6x 7 5x 10x 21 5 2x x        

1 1 1 1 S .... ... 1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 1          1998 2.1999

a

x y 2 y x  

2 2

2 2 x y x y 0 y x y x                

4 4 2 2

4 4 2 2 x y x y x y 2 y x y x y x                        

1 2 

3 m n 

2 2

2 2 x y x y 4 3 y x y x           2 2 2

2 2 2 x y z x y z y z x y z x     

ThuVienDeThi.com