Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Phòng GD & ĐT Yên Định (Có đáp án)

Phòng giáo dục và đào tạo yên định

kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS

năm học 2008 - 2009

Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức : 3 - x

1 6 5x - x

4 2 - x

2x P 2     .

a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn biểu thức P. b) Tìm tất cả các giá trị của x để P nguyên. Câu 2: (5,0 điểm)

Trên mặt phẳng tọa độ cho các đường thẳng (d):  3x 3 y 2 và

(d') : 2

3x - 9 y  cắt nhau tại C và lần lượt cắt trục Ox tại A, B.

a) Tìm tọa độ của các điểm A, B, C. b) Tìm diện tích và chu vi của tam giác ABC biết đơn vị đo độ dài trên các trục là cm.

Câu 3: (4,0 điểm)

a, Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn 2 2 2 5 3 a b c   

Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 1 a b c abc   

b, Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 25 ( 6) x y y   

Câu 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB; Từ A và B ta vẽ hai dây cung AC và BD cắt nhau tại N. Hai tiếp tuyến Cx, Dy của đường tròn cắt nhau tại M. Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. a, Chứng minh PN vuông góc với AB. b, Chứng minh P,M,N thẳng hàng.

Câu 5: (2,0 điểm)

Chứng minh rằng: 3  2 3 4 5... 2000

------------------------Hết-------------------------- • Học sinh không được sử dụng tài liệu gì. • Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

đề thi chính thức

ThuVienDeThi.com

Phòng giáo dục và ® ào tạo yên định

kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS

năm học 2008 - 2009 Đáp án và hướng dẫn chấm

Môn: Toán Hướng dẫn chấm này có 3 trang

Câu ý Nội dung cơ bản Điểm

a)

Điều kiện :

  

 

 

0 6 5x - x

3 x ; 2 x

2  x  2 và x  3

3 - x

1 6 5x - x

4 2 - x

2x P 2    

= 3) - 2)(x - (x

2) - (x 4 3) - 2x(x  

= 2)(x - (x

6 7x - 2x2

)3 



= 2)(x - (x

) 2 - 3)(x - (2x

)3  = x

3 - 2x

3 

Vậy : P = x

3 - 2x

3  với x  2 , x  3 .

0,5

0,5

1,0 1

b)

Ta có P = x

3 - 2x

3  = x

3 6) - (2x

3 



= 2 + x

3

3 

nên P nguyên  x

3

3  nguyên  x - 3 là ước của 3



1 - 3 - x

3 - 3 - x

1 3 - x

3 3 - x

   







 





) loại ( 2 x

0 x

4 x

6 x

   







 



.

Vậy các giá trị cần tìm là x = 6 ; x = 4 ; x = 0

0,5

0,5

1,0

ThuVienDeThi.com

Câu ý Nội dung cơ bản Điểm

2

a)

b)

• C là giao điểm của d và d/ nên tọa độ của C thỏa mãn hệ :

3x - 9 2y

3 3x 2y

  



 

 12 4y

3 3x 2y

  



 

 3 y

1 x

  

 

Vậy C(1 ; 3)

• Phương trình trục Ox là y = 0 nên tọa độ A thỏa mãn hệ :

0 y

3 3x 2y

  



 

 0 y

1 - x

  

 

Vậy A(- 1; 0)

tọa độ B thỏa mãn hệ :

0 y

3x - 9 2y

  





 0 y

3 x

  

 

Vậy B(3 ; 0)

• Gọi H là hình chiếu của C trên trục Ox thì CH là đường cao của tam giác CAB và CH = 3 cm ( tung độ của điểm C) ; cạnh đáy AB = AO + OB = 1 + 3 = 4 (cm) .

 dt(ABC) = 2

1 AB.CH =

2 1 .4.3 = 6 (cm2)

• HA = HO + OA = 1 + 1 = 2 (cm)  HB = AB - AH = 2 (cm)  HA = HB = 2(cm)  tam giác CAB cân tại C (CH vừa là đường cao vừa là trung tuyến) ; tam giác vuông HCA có :

13 3 HC AH CA 2 2 2 2      2 (cm)  chu vi ABC là : AB + BC + CA = 4 2 13  (cm)

1,0

0,5

0,5

1,5

1,5

Câu

3 a

b

Ta có

 

2

2 2 2

2 2 2

0

2( ) 0 1 1 5 ( ) 1 2 2 3 1 (do a,b,c > 0)

1 1 1 1 a

a b c

a b c ac bc ab

ac bc ab a b c

ac bc ab abc abc

b c abc

  

      

        

   

   

Từ 2 25 ( 6) x y y    Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16 Để ý trong phương trình chỉ chứa ẩn số x với số mũ bằng 2 , do đó ta có thể hạn chế giải với x là số tự nhiên.

Khi đó: y+3+x  y+3-x . Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) là số chẵn Suy ra 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) cùng tính chẵn lẻ . Ta lại có tích của chúng là số chẵn , vậy 2 số 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) là 2 số chẵn .

Ta chỉ có cách phân tích - 16 ra tích của 2 số chẵn sau đây.

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

y

x

O H

1

3

3 -1

C

B A

y =

9-3x

2

y =

3x+3

2

ThuVienDeThi.com