Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Có đáp án)

x x x       2 1 2 )1 1 ( 3

.1

) ( 3 3 3

  

  

y x

y x y x

Đề bài:

Bài 1 (3®) : Cho biểu thức:

a, Rút gọn P.

b, Tìm m để P  = 2. c, Tìm các giá trị m tự nhiên sao cho P là số tự nhiên. Bài 2 (2®): Giải phương trình:

Bài 3 (2®): Giải hệ phương trình:

Câu 4 (3®): Tìm m để phương trình Có 2 nghiệm x1 x2 thoả mãn điều kiện T = đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 5 (3®): Cho đường tròn (0; R) và đường thẳng xy không cắt (0), hạ 0H  xy,

từ điểm M  H trên đường thẳng xy kẻ hai tuyÕp tuyến MP ; MQ với đường tròn (0). Dây PQ cắt 0M tại I. Cắt 0H tại K. Chứng minh: a, OK. OH = OI. OM = R2. b, Khi M di chuyển trên xy thì dây PQ luôn đi qua 1 điểm cố định. Bài 6 (4®): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (0). Điểm M di động trên cung nhỏ BC. Từ M kẻ các đường thẳng MH; MK lần lượt

vuông góc với AB; AC. ( H  đường thẳng AB; K  đường thẳng AC ).

a, Chứng minh : MBC và MHK đồng dạng với nhau. b, Tìm vị trí của M để HK có độ dài lớn nhất. Câu 7 (3®): Cho A = (a+b)(b+c)(c+a) trong đó a,b,c là các số dương thoả mãn điều kiện abc = 1.

Chứng minh rằng: A+1  3 (a+b+c).

1 2 1 1 2 2

3 9 3        

  

m m m m m

m m P

0 3 )1 ( 2 2     x m mx

2 2 2 1 x x 

ThuVienDeThi.com

Đáp án và biểu điểm:

Câu Lời giải Điểm

a,

0,5

0,5

b, Điều kiện m  0 và m  1. 0,25

0,5

  Thoả mãn điều kiện trên 0,25

c, P = 1 + .

Để P là số tự nhiên thì

0,5

1 (3®)

Từ đó m  Với m = 0 thì P = -1  N Với m = 4 thì P = 1  N Với m = 9 thì P = 2  N Vậy m = 4 hoặc m = 9.

0,5

Điều kiện: x  1.

0,25

2. (2®) Đặt ( với y  0) ta có x = y2 + 1. Khi đó PT trở thành.

1

1 2 1 1 2 ) 2 )( 1 (

3 9 3        

  

m m m m m

m m P

) 2 ()1 (

2 1 4 3 3 3

 

         

m m

m m m m m m

1 1 ) 2 )( 1 (

) 2 )( 1 ( 2 )( 1 (

2 3

    

    

  

m m m m

m m m m

m m

      1 2 1 2 m m P

)1 ( 2 1    m m

) 1( 2 1 m m   

3  m

1 3  m

9  m

2 1  m

1

2

 m

  2 ; 1 1     m

  9 ;4 ;0

. 2 1 2 )1 1 ( 3 x x x      

0 5 4 2 3     y y y

y x  1

)1 ( 2 2 )1 ( 2 3      y y y

ThuVienDeThi.com

0,5

Do y  0 nên suy ra y = 0 dẫn đến x = 1. thoả mãn điều kiện ban đầu.

Hệ đã cho tương đương với

(x - y)( x2 +xy + y2 - 3) = 0 x + y = -1

0,25

Hệ này tương đương với tuyển của hai hệ. x - y = 0 x2 +xy + y2 - 3 = 0 x + y = -1 x + y = -1

0,5

Giải hệ (I) ta được nghiệm (x ; y) = 0,5

Xét hệ (II): Từ x + y = -1 có y = -1 - x thay pt đầu của hệ (II) ta được:

x2 + x - 2 = 0. Giải PT này ta được x1 = 1; x2 = -2. Từ đó hệ (II) có 2 nghiệm (1; -2); (-2; 1).

0,5

3. (2®)

Kết luận: Hệ đã cho có nghiệm (x ; y) là:

; (1; -2); (-2; 1)

0,25

Phương trình đã cho có 2 nghiệm khi

m  0 m  0

’= -(m-1)2 + 3m  0 m2 + m + 1  0

0,75

Với m  0 theo hệ thức Viét ta có: 0,5

4. (3®)

T = 0,75

0 ) 5 )( 1 (     y y y

0   m 

m x x m m x x 3 ; )1 ( 2

2 1 2 1     

m m m x x x x x x 6 )1 ( 4 2 ) ( 2

2

2 1 2 2 1 2 2 2 1       

) (II ) (I

        2 1 ; 2 1

        2 1 ; 2 1

) (I

ThuVienDeThi.com