Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD & ĐT Lương Tài (Có đáp án)

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn thi: Toán – Lớp 9

Ngày thi: 03/12/2015 Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2 điểm)

Cho biểu thức:   x 2 x 2 Q x x x 1 x 2 x 1

             

(Với x 0;x 1  )

a) Rút gọn biểu thức Q; b) Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên.

Bài 2: (2 điểm)

1) Giải phương trình: 1 4 3 x x     2) Cho hàm số y = f(x) = (m2 – 4m +5) x – 2015. a) Hàm số trên đồng biến hay nghịch biến trên R? b) Không tính hãy so sánh ( 2015 2014) f  với ( 2016 2015) f  .

Bài 3: (2 điểm)

a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 2 n 17  là một số chính phương; b) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn:     2 2 3 3 2y 2x 1 2x 2y 1 1 x y .    

Bài 4: (3 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Một điểm A thay đổi trên nửa đường tròn (A khác B, A khác C). Từ A kẻ AH vuông góc với BC   H BC  . Gọi D, E lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB, AC.

a) Chứng minh rằng : 3 điểm D, A, E thẳng hàng; b) Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O); c) Tìm vị trí của A trên nửa đường tròn (O) sao cho DHE S đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5: (1 điểm)

Cho ba số dương , , a b c thoả mãn:

2 2 2 2 2 2 1. a b b c c a      

Chứng minh rằng:

2 2 2 1 2 2 a b c b c c a a b      

Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính.

============== Hết ==============

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016

Môn: Toán

- Dưới đây chỉ là hướng dẫn tóm tắt của một cách giải. - Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa. - Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm tới đó.

Nếu học sinh có cách giải khác; hoặc có vấn đề phát sinh thì tổ chấm trao đổi và

thống nhất cho điểm nhưng không vượt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó.

Bài 1: (2 điểm)

Ý/Phần Đáp án Điểm a) a) ( 2,0 điểm)

  x 2 x 2 Q x x x 1 x 2 x 1

               

(ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 1)

      

                 

2 x 2 x 2 x x 1 x 1 x 1 x 1

             

x 2 x 2 x x 1 x 1

             

x 1 1 x 1 1 x x 1 x 1

          

1 1 1 1 x x 1 x 1

         

1 1 x x 1 x 1

    x 1 x 1. x x 1   2 x . x x 1   2x x 1

Vậy với x ≥ 0; x ≠ 1 thì   2x Q x 1

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Q = 1 2 2 1

2 )1 ( 2 1

2 2 2 1 2

   

   

    x x x x x x

x 0,25

Nên Q là số nguyên  x – 1 Ư(2)  x -1  {-2; -1; 1; 2}  x  {-1; 0; 2; 3} 0,25

b)

Kết hợp với điều kiện x ≥ 0; x ≠ 1 => x{0; 2; 3} Vậy với x{0; 2; 3} thì Q nhận giá trị nguyên. 0,25

Câu 2: ( 2,0 điểm)

Ý/Phần Đáp án Điểm 1 ĐKXĐ : - 4 < x < 1 PT có hai vế không âm, bình phương hai vế ta có:

1 - x + 4 + x + 2 (1 x)(4 x) 9   

 (1 x)(4 x) 2   

0,25

0,25

ThuVienDeThi.com

 (1 - x)(4 + x) = 4

 - x2 - 3x + 4 = 4  x(x + 3) = 0  x = 0 hoặc x = - 3 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x = 0; x = -3.

0,25

0,25

a) Ta có : m2 – 4m +5 = (m - 2)2 + 1 > 0 với mọi m

nên hàm số y = f(x) = (m2 – 4m +5) x – 2015 đồng biến trên R

0,25 0,25

2

b) 1 1 2015 2014 ; 2016 2015 2015 2014 2016 2015      

do 1 1 2015 2014 2016 2015   

2015 2014 2016 2015    

 ( 2015 2014) f  > ( 2016 2015) f  (vì hàm số trên đồng biến trên R)

0,25

0,25

Bài 3: (2 điểm)

Ý/Phần Đáp án Điểm a) Đặt 2 2 m n 17     (m N; m n)

2 2 m n 17 (m n)(m n) 17 1.17         =17.1 Do m + n > m – n  1  m + n = 17 và m – n = 1  n = 8 (Tìm hai số biết tổng và hiệu)

Với n = 8 ta có 2 2 n 17 64 17 81 9      (thỏa mãn) Vậy n = 8

0,5 0,25

0,25

b)     2 2 3 3 2y 2x 1 2x 2y 1 1 x y (1)    

Ta có (1)

3 3 4xy(x y) 2(x y) 1 x y      88

Đặt

a x y

b xy

    

vì x, y nguyên nên a, b nguyên.

Khi đó ta có pt : 3 4ab 2a 1 b   với a, b nguyên

3 b 1 2a 2b 1

    (vì b nguyên nên 2b - 1 0) 

2 7 16a 4b 2b 1 2b 1      Vì a, b nguyên, nên 2b …