Đề thi chọn học sinh giỏi dự thi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD & ĐT Yên Thành (Có đáp án)

PHÒNG GD& ĐT YÊN THÀNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH DỰ THI HSG HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015

Môn :Toán 9 (Thời gian làm bài 120 phút )

Bài 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức A =

x x

x

x x

x x x x x



  

  





    1 2 : 1

2 x - 1

1 - 2x

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị x để giá trị của biểu thức A = 3

2 .

c) Biểu thức A có giá trị lớn nhất không ? Vì sao? Bài 2: (2,0 điểm) Chứng minh rằng:

a)     1 2 a b 2 b c b    

Biết a; b; c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện: a = b + 1 = c + 2 và c >0.

b) Biểu thức B = 2015 2014 2015 2014 2014 1 2

2 2    có giá trị là một số nguyên.

Bài 3: (2 điểm) Giải phương trình a) 2 2 x 3x 2 x 3 x 2 x 2x 3         

b) x 3 4x 1 3x 2 5     .

Bài 4( 3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy

điểm N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I.

1.Chứng minh :

2.Biết số đo  MAN = 450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm.Tính số đo

 AMN =?

3. Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, AK, AI ( P

IK, Q AK, R AI). Xác định vị trí điểm O để đạt giá trị nhỏ nhất.

………………………..Hết…………………………..

2 2 2

1 1 1

AB AK AM  

   2 2 2 OR OQ OP  

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GD& ĐT YÊN THÀNH

HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1 (2.5đ) a) Rút gọn biểu thức (1 điểm)

- Nêu đúng điều kiện: x >0, x 1, x 4

1

- Rút gọn đến A =

  

  1 2 1 .

2 1 1 1

x x x

x x x x

                 

- Rút gọn được kq: A =

x x

x

  1

0.25

0.5

0.5

b) - Đưa về được pt:   2 1 2   x x = 0

- Giải được x = 4

1 , x = 4

- Kết luận: Giá trị x cần tìm là: x = 4( TMĐK)

0.25

0.25 0.25

c) - Vì x > 0, Nên ta có A =

1 1 1

 

x x

Mà 1 1  

x x > 1 (vì x 1) nên

1 1 1

 

x x

< 1

- Vậy A không có giá trị lớn nhất.

0.5

0.25

Bài 2 (2 điểm)

a) Chứng minh rằng     1 2 a b 2 b c b     biết a; b; c là ba số thực thoả mãn

điều kiện a = b + 1 = c + 2 ; c > 0 (1 điểm). Ta có:  a b 1 a b 1 a b 1      .  b 1 c 2 b c 1 b c 0 2        . (c > 0 theo (gt)) Từ (1) và (2) suy ra a > b > c > 0.

Mặt khác   

1 1 a b 1 a b a b 1 a b

a b 2 b         

(Vì a >b>0)

 

1 2 a b

b    .

0.25

0.5

Chứng minh tương tự cho trường hợp:   1 2 b c b

  .

Vậy     1 2 a b 2 b c b     (đpcm).

0.25

0.25

b) Biến đổi đưa về được bình phương của 1 biểu thức trong căn

B = 2015 2014 2015 2014 2015

2

        B = 2015

0.5

0.25 Bài 3 (2điểm) Giải phương trình

ThuVienDeThi.com

M

A

D C

B

O

K I N

H

P

R

Q

a) 2 2 x 3x 2 x 3 x 2 x 2x 3          (1) (1.0 điểm)

Điều kiện

  

  

x 1 x 2 0

x 3 0 x 2 x 2 0

x 1 x 3 0

                 (1)       x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 x 3 1          

     1 x 2 x 1 1 x 3 x 1 1 0        0.5

  

x 1 1 0 x 1 1 x 1 1 x 2 x 3 0 x 2 x 2 x 3 0 x 2 x 3

                            x = 2 thoả mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

0.5

b) x 3 4x 1 3x 2 5     (1). (1.0 điểm). Điều kiện 2 x 3  .

    4x 1 3x 2 . 4x 1 3x 2 x 3 4x 1 3x 2 x 3 1 5 5 4x 1 3x 2 4x 1 3x 2

               

4x 1 3x 2 x 3 x 3 x 3 4x 1 3x 2 5 5 5 4x 1 3x 2 4x 1 3x 2                 

(2)

(Vì 2 x 3  nên x + 3 > 0).

Giải tiếp phương trình (2) ta được nghiệm của phương trình là x = 2.

0.5

0.5

Bài 4 (3.5 điểm) a)Ta cã

)1( AI AM ADI ABM      Trong tam giác AIK vuông tại A ta có:

) 2 ( 1 1 1

2 2 2 AD AK AI   . và AB = AD

Từ (1) và (2) 2 2 2

1 1 1

AB AK AM   

1.5

b)Kẻ AH vuông góc với MN ) ( MN H  . Do CM + CN =7 và CN- CM =1cmCN=4cm; CM = 3cm, MN = 5 cm Ta có MN IN AD AH AIN AMN       

MH ID AID AMH      mà BM MH BM ID    Ta lại có : 5    MN BM DN và CM+MB = CN + ND CN- CM = MB- ND =1  DN =2 cm ; BM = 3 cm ; BC = AD = AH = 6 cm -Tan AMH = =>  AMH = …. Hay  AMN = ….

0.5

0.5 Từ giả thiết ta có AQOR là hình …