Xem trước nội dung
PHÒNG GD &ĐT CẨM THỦY
TRƯỜNG THCS CẨM NGỌC
...............................................
ĐỀ THI HS GIỎI TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI C©u 1:
1. Giải phương trình:
11 5 25
2
2 2
x
x x
2. Viết các phương trình bậc hai dạng: x2 + mx + n = 0. Biết rằng, phương trình có nghiệm nguyên, các hệ số m, n đều là những số nguyên và m + n + 1 = 2011.
C©u 2:
1. Tính giá trị của biểu thức: P = (4x3 - 6x2 - 1)2014
víi x = 3 3 2 2 3 2 2 3 1 2 1 .
2. Giải hệ phương trình:
2
2
3 2
3 2
y x y
x y x
C©u 3:
1. Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn: abc c b a
1 1 1 1 . Chøng minh r»ng:
(1 + a2) (1 + b2) (1 + c2) là số chính phương. 2. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7 là số chính phương. Câu 4:
1. Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) cắt đường tròn (O) tại hai điểm A, B. Từ một điểm M trên đường thẳng (d) và ë ngoài (O), (d) không đi qua O, ta vẽ hai tiếp tuyến MN, MP với đường tròn (O) (N, P là hai tiếp điểm).
a. Chứng minh NMO = NPO. b. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua hai điểm cố định khi M di động trên đường thẳng (d). 2. Cho hai điểm A, B cố định và điểm M di động sao cho tam giác AMB có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác AMB và K là hình chiếu của M trên AB.Tìm giá trị lớn nhất của tích KM.HK. Câu 5: Cho ba số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 1. Chứng minh rằng:
3 3 1 1 1 3 3 3 3 3 3
zx
x z yz
z y xy
y x
Hết
ThuVienDeThi.com
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Nội dung đáp án Điểm 1. ĐK: x 5
(1) 11 5 10 5 5 2 2
x
x x
x x
0 11 5 10 5
2 2 2
x
x x
x
§Æt t x
x 5
2
thì phương trình đã cho trở thành: t2 + 10t -11 = 0
11 1 t t
+ Víi t = 1 => x2 - x - 5 = 0. Suy ra: x1,2 = 2
21 1
+ Víi t = -11 => x2 + 11x + 55 = 0 (PTVN)
0,5
0,5
0,5 0,5 1 (4,0®) 2. Giả sử phương trình: x2 + mx + n = 0 có hai nghiệm nguyên x1, x2. Theo định lÝ
Vi - et, ta cã:
n x x
m x x
2 1
2 1
Do đó: m + n + 1 = x1x2- (x1 + x2) + 1 = 2011 (x1 - 1)(x2 - 1) = 2011
Vì 2011 là số nguyên tố, giả sử x1 > x2, ta nhận được:
+ x1 - 1 = 2011 => x1 = 2012; x2 - 1 = 1 => x2 = 2
Suy m = -2014; n = 4024.
+ x1 - 1 = -1 => x1 = 0; x2 - 1 = -2011 => x2 = -2010
Suy m = 2010; n = 0.
Từ đó, ta có các phương trình bậc hai dạng: x2 + mx + n = 0 thỏa mãn điều kiện bài
toán: x2 - 2014x + 4024 = 0; x2 + 2010x = 0.
0,5
0,5
0,25
0,75
1. §Æt
3
3
2 2 3
2 2 3
b
a
1 2
6
1
3 3
x b a
b a
ab
Suy ra: (2x - 1)3 = (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) = 6 + 3(2x - 1)
3 1 2 1 2
2 x x = 6 4x3 - 6x2 - 1 = 1 VËy P = (4x3 6x2 1)2014 = 1.
1,0
0,5
0,5 2 (4,0®)
2. §K: x, y 0 0,5
0,75
ThuVienDeThi.com
Hệ phương trình
3 2
3 2
2 3
2 3
xy y
y x x
Trõ vế với vế của hai phương trình ta được: 2(x3 – y3) + xy(x - y) = 0 2(x - y)(x2 + xy + y2) + xy(x - y) = 0 (x - y)(2x2 + 3xy + 2y2) = 0 (*)
V× 2x2 + 3xy +y2 = 2 2
8 7 4 3 2 y y x > 0 víi x, y 0
Nên (*) x – y = 0 x = y Thay x = y vào phương trình (1) ta được: 3x3 = 3 x3 = 1 x = 1 (TM ĐK) Vậy x = y = 1.
0,25
0,5
1. Theo đề ra, ta có: abc c b a
1 1 1 1 => ab + bc + ca = 1
Khi đó, ta có: 1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(a + c) (1) 1 + b2 = ab + bc + ca + b2 = b(a + b) + c(a + b) = (a + b)(b + c) (2) 1 + b2 = ab + bc + ca + c2 = c(a + c) + b(a + c) = (a + c)(b + c) (3) Từ (1), (2) & (3), suy ra: (1 + a2) (1 + b2) (1 + c2) =[(a + b)(b + c)(c + a)]2 Với a, b, c là các số nguyên thì (a + b)(b + c)(c + a) là số nguyên. Vậy (1 + a2) (1 + b2) (1 + c2) = [(a + b)(b + c)(c + a)]2 là số chính phương.
0,5
0,5
0,5
0,5
3 (4,0®)
2. Đặt n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7 = y2 (y N) Suy ra: y2 = (n2 + n)2 + n2 + n + 7 > (n2 + n)2 => y > n2+ n. Vì y N, n2 + n + 1 N => y n2 + n + 1 => y2 (n2 + …
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
