Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2008-2009 - Sở GD & ĐT Ninh Bình (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH NINH BÌNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2008-2009

Môn: Toán Thời gian làm bài :150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang.

Câu 1 (4.0 điểm): Cho phương trình 0 2 2 2 2     m m mx x , trong đó m là tham số. 1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt không âm. 2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 1; x x thoả mãn .3 2 1   x x

Câu 2 ( 6.0 điểm): Giải các phương trình sau: 1. 0 7 6 2    x x .

2. 8 3 10 3 2 3 2     x x x . 3. 1 2 3 3 2 2      x x x x x .

Câu 3 (6.0 điểm): 1. Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm phân biệt C, D sao cho CD = R (C thuộc cung AD). Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt AB tại M. Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O; R) tại A và B cắt CD lần lượt tại E và F. Gọi K là giao điểm của AC và BD. a) Chứng minh tứ giác AECM nội tiếp và tam giác EMF là tam giác vuông. b) Xác định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác KCD. 2. Cho tam giác ABC vuông tại A với AB < AC, BC = 3 2 2  và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 1. Tính độ dài cạnh AB và AC.

Câu 4 (2.0 điểm):

Cho ba số a , b , c thoả mãn

  

  

 

6 3 , , 1

c b a

c b a

Chứng minh rằng: 14 2 2 2    c b a

Câu 5 ( 2.0 điểm): Tìm tất cả các số nguyên dương x , y , z thoả mãn

  

  

  

100 10 9 8

11

z y x

z y x

HẾT Họ và tên thí sinh:…………………………………..SBD:……………………

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

Hướng dẫn chấm thi Môn Toán.Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9, năm học 2008- 2009.

Câu Hướng dẫn chấm Điểm Câu 1

1.(2.0 điểm)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt không âm







 

  

0 0

0

P S

2 0 2

0

0 2

0 2

0 2

2

2 2

    

 

  





 



  

 m m

m

m m

m

m m m

.

Học sinh có thể giải từng bất phương trình sau đó lấy giao các tập nghiệm thì chấm như sau:Hai bpt đầu đúng, mỗi bất phương trình cho 0.25 điểm Bất phương trình thứ ba cho 0.5 điểm. Lấy giao đúng kết quả cho 0.5 điểm. 2. (2.0 điểm) Phương trình có hai nghiệm phân biệt không âm ( 0 ;0 2 1   x x ) khi m 2 .

Áp dụng định lý vi ét ta có

  

 

 

m m x x

m x x

2 .

2

2 2 1

2 1

Theo yêu cầu bài toán: 9 . .2 3 2 1 2 1 2 1       x x x x x x

28 81

28 81

0 2 9

4 36 81 8 4

0 2 9 2 9 2 .2 2 2 2   

 



     

   

       m m

m

m m m m

m m m m

Học sinh có thể không lý luận m 2  mà giải bình thường, sau khi tìm được m thay ngược trở lại phương trình thì vẫn cho tối đa, nếu không thay ngược trở lại pt thì châm chước cho tối đa điểm bài này.

0.5

1.5

0.25

0.25 0.5

1.0

Câu 2

1. (2.0 điểm)

Đặt t = x , t 0 , phương trình trở thành 





      7

1 0 7 6 2

t

t t t

Với t=7 suy ra x = 7  Vậy phương trình có nghiệm x = 7  2. (2.5 điểm) Ta có ) 2 ( ) 4 2 ( 2 ) 4 2 ).( 2 ( .3 2 2         x x x x x x

4 2

2 2 4 2

2 .3 2 2  

    

  x x

x x x

x

Đặt t= 4 2

2

2  



x x

x , (t 0 ). Phương trình trở thành 





     2

1 0 2 3 2

t

t t t

. Với t=1, suy ra: x + 2 = x2-2x+4 





      2

1 0 2 3 2

x

x x x

. Với t=2, suy ra x + 2 = 4(x2-2x+4) 0 14 9 4 2     x x ( pt này vô

1.0

0.75 0.25

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

ThuVienDeThi.com