Đề thi chọn học sinh giỏi Thành phố môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Sở GD & ĐT Hải Phòng

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

HẢI PHÒNG

(Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

CẤP THCS NĂM HỌC 2016 - 2017

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi 12/4/2017

Bài 1. (2,0 điểm)

a) Cho

3 10 6 3( 3 1) x

6 2 5 5

  

 

. Tính giá trị của  

2017 2 P 12x + 4x – 55  .

b) Cho biểu thức

2 a 1 a a 1 a a a a 1 M

a a a a a a           với a > 0, a  1.

Với những giá trị nào của a thì biểu thức 6 N M  nhận giá trị nguyên?

Bài 2. (2,0 điểm)

a) Cho phương trình: 2 2 x 2mx m m 6 0      (m là tham số). Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm 1 x và 2 x sao cho 1 2 x x 8   ?

b) Cho hệ phương trình

3 2 2 2 2

2 2017 x y 2x y x y 2xy 3x 3 0. y x y 3m

            Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt   1 1 x ;y và   2 2 x ;y thỏa mãn điều kiện    1 2 2 1 x y x y 3 0     . Bài 3. (2,0 điểm)

a) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho 2 a + b chia hết cho 2 a b 1 . b) Cho ba số thực a, b, c dương. Chứng minh rằng:

     

3 3 3

3 3 3 3 3 3 a b c 1 a b c b c a c a b         

.

Bài 4. (3,0 điểm)

Cho ba điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (điểm B nằm giữa điểm A và điểm C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua điểm B và điểm C (điểm O không thuộc đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O (với M và N là các tiếp điểm). Đường thẳng BC cắt MN tại điểm K. Đường thẳng AO cắt MN tại điểm H và cắt đường tròn tại các điểm P và điểm Q (P nằm giữa A và Q).

a) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi. b) Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME. Bài 5. (1,0 điểm)

Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác nhau thỏa mãn tổng của 11 phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại. Biết các số 101 và 102 thuộc tập hợp A. Tìm tất cả các phần tử của tập hợp A.

---------Hết--------- (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: ...............................................Số báo danh: ...............................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

Cán bộ coi thi 1:..................................................Cán bộ coi thi 2:..........................................

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

HẢI PHÒNG

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

Năm học 2016 - 2017

MÔN: Toán 9 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa. - Tổng điểm bài thi: 10 điểm .

Bài Đáp án Điểm 1a) (1,0 điểm)

Ta có :

    3 3 3 10 6 3 3 1 ( 3 1) 3 1     

0,25

2 6 2 5 5 ( 5 1) 5      0,25

3 3

2 ( 3 1) ( 3 1) ( 3 1)( 3 1) 3 1 x 2 1 5 1 5 ( 5 1) 5

           

0,25

Thay giá trị của x vào P ta được:

 

2017 2 2017 P 12.2 4. 2 55 1 1      0,25

1b) (1,0 điểm) Với điều kiện a 0; a 1  thì:     

      

a 1 a a 1 a 1 a 1 a a 1 a 1 M

a a a 1 a a 1 a 1

             

 

2 a 1 a 1 a a 1 a a 1 M

a a a a

         

0,25

Khi đó

 

2 6 6 a N 0 M a 1    

Ta thấy với 0 a 1 a a 1 0    

 

 

2

2 6 a a 1 3 a 2 a 1      

0,25

Do 0 N 2  

Để N có giá trị nguyên thì N = 1.

0,25

Bài 1 (2 điểm)



6 a 1 a 2 a 1

    a 4 a 1 0  



 

2 a 3 2 a 7 4 3 ( ) a 2 3

a 3 2 a 7 4 3 ( )

                   

thỏa mãn

thỏa mãn

Vậy a 7 4 3.  

0,25

ThuVienDeThi.com