Đề thi học sinh giỏi Thành phố môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD & ĐT Thanh Hóa (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ÐÀO TẠO

THÀNH PHỐ THANH HÓA

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2013 – 2014 - MÔN TOÁN- LỚP 9 Ðề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ðề thi gồm có: 01 trang Ngày thi: 03 tháng 12 năm 2013

ÐỀ BÀI

Bài 1 ( 5.0 điểm)

Cho biểu thức P = a b a b ab b ab a ab     

a) Rút gọn rồi tính giá trị của P khi a = 2014 2 2013 2014 2 2013  

và b = 40 2 57 40 2 57   

b) Chứng minh rằng nếu a a 2 2 b b 4 2  



thì P có giá trị không đổi.

Bài 2 ( 4.0 điểm)

a) Tìm giá trị của k để phương trình ẩn x sau có nghiệm âm

1 1

) 1 ( 3 ) 2 (  

  

x

k x k

b) Giải phương trình: Bài 3 ( 4.0 điểm)

a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = 1 2

9 2 3 2

2

2 2

 

   

x x

) x x ( ) x x (

Bài 4 ( 4.0 điểm)

Cho tam giác ABC cân ( AB = AC , BAC < 450) . Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho DC < DB. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB, AC lần lượt cắt AC, AB thứ tự tại M, N. Điểm H đối xứng với D qua đường thẳng MN. Gọi giao điểm của các đường thẳng AH và BC là I. a) Tứ giác ANMH là hình gì ? Chứng minh .

b) Chứng minh tam giác IAB và tam giác IHC đồng dạng với nhau. Bài 5 ( 3.0 điểm)

Cho hình vuông ABCD và điểm M bất kỳ trên cạnh CD. Đường phân giác của góc

ABM cắt AD tại N. Xác định vị trí của điểm M để tỉ số MN

BN lớn nhất.

(HẾT)

Phòng thi: ...............................Số báo danh: ................ Họ tên thí sinh: ....................................................... Họ tên, chữ ký giám thị 1: ...................................................................................................................................... Họ tên, chữ ký giám thị 2: ......................................................................................................................................

x 1 3 x (x 1)(3 x) 2       

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ THANH HÓA

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2013 – 2014

HƯỚNG DẪN CHẤM - MÔN TOÁN- LỚP 9

Bài 1 (5.0 điểm) a) + §iÒu kiÖn: ab > 0 ; ab b   0 ; ab a   0 ; a  b (0,5 điểm)

+ Rót gän : P = a b b a 

 (1,5 điểm)

+ TÝnh a =        2 2 2013 1 2013 1 2013 1 2013 1     

=  

2 2013 1 2012   (1,0 điểm)

+ V×  

2 2 40 2 3200 3249 57 40 2 57      , do đó

b = 57 40 2 57 40 2    => b > 0 nên

b2 =        

2 2 57 40 2 57 40 2 2 57 40 2     

b2 = 114 – 2 . 7 = 100 mà b > 0 nên b = 10

Tính P = 2012 10 2022 10 1 10 2012 2002 1001      (1,0 điểm)

b) + Tõ a a 2 2 b b 4 2  



=> ab + 4 2 a = ab + 2 2 b => 2a = b

Thay b = 2a vào P = a 2a 3a 3 2a a a     Chứng tỏ P có giá trị không đổi.

(1,0 điểm)

Bài 2 ( 4.0 điểm) a) + Điều kiện: x -1 ( 0,25 điểm) + Biến đổi phương trình đã cho ta được x( k – 1) = k – 2 ( 1) ( 0,25 điểm) + Nếu k = 1 thì phương trình ( 1) vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.

(0,25 điểm)

+ Nếu k 1 thì phương trình ( 1) có nghiệm x = 1 2   k k . ( 0,25 điểm)

Kết hợp với điều kiện thì x = 1 2   k k là nghiệm của phương trình đã cho khi k  1,5

( 0,25 điểm)

Phương trình đã cho có nghiệm âm tức 1 2   k k < 0, giải ta tìm được 1< k < 2.

( 0,25 điểm) + Vậy giá trị cần tìm của k là 1< k < 2 ; k  1,5 ( 0,5 điểm)

b) + §iÒu kiÖn 

 

 

0 3

0 1 x x <=> -1  x  3 (0,25 điểm)

+ Đặt y = x x    3 1 ( điều kiện y  0) ThuVienDeThi.com