Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Nguyễn Trường Tộ (Có đáp án)

UBND QUẬN ĐỐNG ĐA TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ

------------------

KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 9

Năm học 2017 – 2018 Môn: TOÁN Ngày thi: Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài I. (5,0 điểm) 1. Cho p và q là các số nguyên tố lớn hơn 3 và thỏa mãn 2. p q   Chứng minh rằng p q  chia hết cho 12.

2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương   y x, sao cho 1 1 x y y    và 1 1 x y x    là các số tự nhiên.

Bài II. (5,0 điểm)

1. Cho , , a b c là các số thực dương thỏa 2 2 2 2 1 a b c abc    . Tính giá trị của biểu thức

         2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 . P a b c b a c c b a abc          

2. Giải phương trình 2 6 4 3 2. x x x     Bài III. (3,0 điểm)

Cho , , x y z là các số thực không âm thỏa mãn 1, 1, 1 x y z    và 3. 2 x y z    Tìm giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . P x y z   

Bài IV. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao , AD BE và CF cắt nhau tại . H

1. Chứng minh 2 cos . AEF

ABC

S A S  Từ đó suy ra 2 2 2 cos cos cos 1. A B C   

2. Kẻ FI và EJ vuông góc với BC ( ,I J thuộc BC ). Từ ,I J kẻ các đường thẳng || IK AC và

|| JL AB (với K thuộc AB và L thuộc AC ). Chứng minh rằng: . . . KF EJ LJ FI 

3. Gọi O là giao điểm của EI và . FJ Chứng minh rằng ba điểm , , K O L thẳng hàng.

Bài V. (1,0 điểm) Cho 5 số nguyên dương 1 2 3 4 5 , , , , a a a a a . Chứng minh rằng tồn tại các số   1,0,1 ic  , 1,...,5 i  ,

không đồng thời bằng 0 sao cho 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 c a c a c a c a c a     chia hết cho 31.

--------Hết-------- Lưu ý : Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh :…………………………… Số báo danh : …………………………… Chữ kí của giám thị 1 : ………………………. Chữ kí của giám thị 2 : ………………….

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

UBND QUẬN ĐỐNG ĐA TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ

------------------

KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 9

Năm học 2017 – 2018 Môn: TOÁN Ngày thi: Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

CÂU Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM I 5,0 1 Chứng minh rằng … 2,5 Vì q là số nguyên tố lớn hơn 3 nên q có dạng 3 1 k  hoặc 3 2 k  với . k  0,75

Nếu 3 1 q k   thì 3 3 p k   nên 3 p (loại) vì p là các số nguyên tố lớn hơn 3. Khi 3 2 q k   thì 3 4. p k   0,75

Do q là các số nguyên tố lớn hơn 3 nên k lẻ.

Ta có   6 1 12 p q k    (điều phải chứng minh) 1,0

2 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương   y x, …. 2,5

Từ giả thiết bài toán trở thành tìm tất cả các cặp số nguyên dương   y x, sao cho

1  y

x và 1  x

y là các số tự nhiên.

Không giảm tổng quát, giả sử y x   1   * , N y x 

0,75

Với * * 1 1 1 2 2. 1 1 x y x x x y x x            

Với x y  , do

* * * * 1 2 1 1 ( , ) 1 1 1 1 x x x y x y x y N y x y x x                 

0,75

     1 1;2 2;3 x x      , tương ứng   4;3  y .

Thử lại:         4;3 , 3;2 , 2;2 ;  y x thoả mãn điều kiện bài toán

Vậy, các cặp số cần tìm là: )} 3;4 ( ); 2;3 ( ); 4;3 ( ); 3;2 ( ); 2;2 {( ) ; (  y x .

1,0

II 5,0

1 Tính giá trị của biểu thức … 2,5

Từ giả thiết 2 2 2 2 1 a b c abc     ta có :    2 2 1 1 b c a bc     0,75

Tương tự :       2 2 2 2 1 1 ; 1 1 a c b ac b a c ab         0,75

         2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1

( ) ( ) ( ) 2 1

P a b c b a c c b a abc

a a bc b b ac c c ab abc a b c abc

          

           

1,0

2 Giải phương trình… 2,5

Điều kiện: 1 3 x  0,25

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com