Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD & ĐT Đức Thọ (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỨC THỌ

ĐỀTHI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014

MÔN TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) A 4 10 2 5 4 10 2 5 5       

b)    

   

2 2 2 2 2 2 x y x x y y x y B xy x x y y x y

       với xy > 0; x y

Bài 2: Tìm các sốnguyên x, y thỏa mãn 2 y 2xy 7x 12 0     Bài 3: Giải các phương trình

a) 5 x 5 x x x 6 x 1 x 1               

b)     10 14 x 2013 x 2014 1    

Bài 4: Cho ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

a) Chứng minh rằng BEC ADC. Tính BE theo m = AB b) Gọi M là trung điểm của BE. Chứng minh rằng BHM BEC. Tính  AHM

c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh rằng GB HD BC AH HC   Bài 5: a) Cho     3 3 2 2 x y 3 x y 4 x y 4 0        và xy > 0

Tìm GTLN của 1 1 M x y  

b) Với a, b, c là các sốthực dương. Chứng minh rằng

5 5 5 3 3 3

2 2 2 2 2 2 a b c a b c a ab b b bc c c ca a 3           

Bài giải của Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn

Bài 1: a) Đặt                  2 x 4 10 2 5 4 10 2 5 x 8 2 6 2 5 8 2 5 1 6 2 5

x 5 1   . Do đó A = 1

b)    

   

     

x y x x y y B 1 x x y y x y Xét các trường hợp x < y < 0; y < x < 0; x > y > 0 và y > x > 0 ta đều được  B 1

Bài 2: Cách 1:               2 2 y 2xy 7x 12 0 x y x 3 x 4

(x + 3)(x + 4) là tích của 2 sốnguyên liên tiếp nên không thểlà 1 sốchính phương

Dó đó x 3 0 x 3 x 4 0 x 4             

Từđó ta tìm được (x; y) {(-3; 3); (-4; 4)}

ThuVienDeThi.com

Cách 2:                 2 2 2 y 2xy 7x 12 0 4y 8xy 28x 48 0 4y 49 4x 2y 7 1

   2y 7 2y 7 4x 1      ta có 2y 7 1 x 4 2y 7 4x 1 y 4              

2y 7 1 x 3 2y 7 4x 1 y 3              

Bài 3: a) Cách 1: ĐKXĐ: x -1. Đặt        

5 x x a x 1 và     5 x x b x 1 .

Ta có                           

2 2 5 x 5 x 5x x x x 5 x a b x x 5 x 1 x 1 x 1

Do đó

a 2

b 3 ab 6

a b 5 a 3

b 2

                    

. Với

2

2

2

5 x x 2 a 2 x 3x 2 0 x 1 x 3x 2 0 b 3 x 3x 2 0 5 x x 3 x 1

                                      

  

x 1 x 1 x 2 0 x 2         

Với  

2

2 2

2

5 x x 3 a 3 x 2x 3 0 x 1 x 2x 3 0 x 1 2 0 b 2 x 2x 3 0 5 x x 2 x 1

                                          

, vô nghiệm

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1; 2}

Cách 2:                               

2 2 2 4 3 2 5 x 5 x x x 6 5x x x 5 6 x 1 x 5x 11x 13x 6 0 x 1 x 1

               4 3 2 2 2 x 5x 11x 13x 6 0 x 3x 2 x 2x 3 0

Từđó ta tìm được tập nghiệm S = {1; 2}

b)             10 14 5 7 x 2013 x 2014 1 x 2013 x 2014 1

Ta có x = 2013, x = 2014 là 2 nghiệm của phương trình. Ta chứng minh 2 nghiệm này là duy nhất Xét x < 2013            7 5 7 x 2014 1 x 2014 1 x 2014 1 x 2013 x 2014 1

Xét 2013 < x < 2014

5

7 0 x 2013 1 x 2013 x 2013 0 x 2013 1 1 x 2014 0 0 x 2014 1 x 2014 x 2014

                                

5 7 x 2013 x 2014 x 2013 x 2014 x 2013 2014 x 1             

Xét x > 2014            5 5 7 x 2014 1 x 2013 1 x 2013 1 x 2013 x 2014 1

Vậy phương trình có nghiệm x = 2013, x = 2014

Bài 4: a) Xét EDC và BAC có

 



0 EDC BAC 90 (gt)

C chung

    

EDC BAC (g – g) EC BC DC AC  

Xét BEC và ADC có

A

B C H D

E M

G

m

ThuVienDeThi.com