Quảng cáo

Đề thi chọn học sinh giỏi vòng I môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD & ĐT Bình Giang (Có đáp án)

Nguồn: thuviendethi.com

Đọc sách

Báo tài liệu không phù hợp

Xem trước nội dung

PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG I

NĂM HỌC 2012-2013

MÔN: TOÁN - LỚP 9 (Thời gian làm bài: 150 phút)

Câu I (2,0 điểm).

Cho biểu thức: x 2 x 1 1 A

x x 1 x x 1 1 x         

với x 0, x 1  

1) Rút gọn A

2) Chứng tỏ rằng: 1 A 3 

Câu II (2,0 điểm).

1) Giải phương trình:    x x 15 17

2) Tìm x, y sao cho:  

2 5x 2 x 2 y y 1 0    

Câu III (2,0 điểm).

1) Tìm số nguyên x, sao cho :

2 x x p 0    với p là số nguyên tố.

2) Tìm m để hàm số bậc nhất      

2 m 2013m 2012 y x 2011 m 2 2m 3

là hàm số

nghịch biến. Câu IV (3,0 điểm).

1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R), hai đường cao BE và CF của tam giác cắt nhau tại H. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O ; R), gọi I là trung điểm của BC.

a) Chứng minh AH = 2.IO.

b) Biết · 0 BAC 60  , tính độ dài dây BC theo R.

2) Cho µ 0 ABC(A 90 )   , BC = a. Gọi bán kính của đường tròn nội tiếp

ABC  là r. Chứng minh rằng: r 2 1 a 2

  .

Câu V (1,0 điểm).

Cho x 3y 1  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 C x y  

–––––––– Hết ––––––––

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG I NĂM HỌC 2012-2013

MÔN: TOÁN - LỚP 9 Câu Phần Nội dung Điểm

1 (1,0 đ)

  

x 2 x 1 1 A

x x 1 x 1 x 1 x x 1

          

  

x 2 x 1 x x 1 A

x 1 x x 1

x x A

x 1 x x 1

   

  

 

  

    

x x 1 x A

x x 1 x 1 x x 1

  

    

, với x 0, x 1  

0.25

0.25 Câu I (2,0 điểm)

2 (1,0 đ)

Xét  

2 x 1 1 1 x A 3 3 x x 1 3(x x 1)

         Do x 0, x 1  

 

2 2 1 3 x 1 0 và x x 1 x 0 2 4               1 A 0 3     1 A 3 

0.50

0.25

1 (1,0 đ)

ĐKXĐ: x 15  x x 15 17 x 15 x 15 2 0         

Đặt 2 t x 15 (t 0) t t 2 0      

      

      

t 2 TM§K t 2 t 1 0

t 1 loại

Với t 2 x 15 2 x 15 4 x 19          (TMĐK)

0.25

Câu II (2,0 điểm)

2 (1,0 đ)

ĐKXĐ: x 0    2 5x 2 x 2 y y 1 0      2 4x 4 x 1 x 2y x y 0     

   

2 2 2 x 1 x y 0      (1)

Vì    

2 2 2 x 1 0, x y 0 x 0,y    

   

2 2 2 x 1 x y 0     .

Để (1) xẩy ra thì

1 x 2 x 1 0 4 (TM) 1 x y 0 y 2

               

0.25

Câu III (2,0 điểm)

1 (1,0 đ)

Theo bài ra:   2 p x x x x 1     mà x, x + 1 là số nguyên liên tiếp

nên    x x 1 là số chẵn  p là số chẵn. Mặt khác p là số nguyên tố nên p = 2



2x x 2 0       x 2 x 1 0      x = 1 hoặc x = - 2 (TM)

0.25

0.25 0.50

ThuVienDeThi.com

2 (1,0 đ)

Để hàm số

2 m 2013m 2012 y x 2011 m 2 2m 3      

nghịch biến thì

2 m 2013m 2012 0 m 2 2m 3     

(1).  

2 2 m 2 2m 3 m 2 1 0 m     

(1)    2 m 2013m 2012 0 m 1 m 2012 0        

m 1 0 m 1 m 2012 0 m 2012

                                      1 m 2012  

0.25

1a (1,0 đ)

I B C

A Vì B, C thuộc đường tròn đường kính AK · · 0 ABK ACK 90    KB AB,KC AC    CH AB,BH AC   (gt) BK // CH,CK // BH 

BHCK  là hình bình hành I là trung điểm của BC (gt)

I  là trung điểm của HK O là trung điểm của AK (gt)

OI  là đường trung bình của KAH  1 OI AH AH 2.IO 2    

0.25

1b (1,0 đ)

OA OC OAC   cân tại O · · OAC OCA   · · · KOC OAC OCA   (T/c góc ngoài của tam giác) · · KOC 2.OAC   Chứng minh tương tự: · · KOB 2.OAB  · · · ·   · · 0 KOC KOB 2 OAC OAB BOC 2.BAC 120       

OB OC OBC   cân tại O ·   0 0 0 OCI 180 120 :2 30    

Vì I là trung điểm của BC (gt) OI BC  

Trong   0 OIC I 90    : 0 3 IC OC.cos30 R. BC R 3 2    

0.25

Câu IV (3,0 điểm)

2 (1,0 đ)

r 2 1 2r a 2 a 2r a a 2 a 2

       

C/m được AB + AC = 2r + a

AB AC BC 2   

2 2 2 AB 2AB.AC AC 2BC    

  