Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 9

1 Bài 1 (4 điểm)

a) Cho x, y, z là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :

A = 4x2y2 – (x2 + y2 – z2)2 > 0.

b) Tìm các số tự nhiên x, y thoả mãn : x y 3 xy 2   .

a) Ta có A = 4x2y2 – (x2 + y2 – z2)2 = (2xy – x2 – y2 + z2)(2xy + x2 + y2 – z2)

= [z2 – (x – y)2][(x + y)2 – z2] = (z – x + y)(z + x – y) (x + y – z)(x + y + z) = (y + z – x)(z + x – y) (x + y – z)(x + y + z) Vì x, y, z là ba cạnh của tam giác nên y + z > x, z + x > y, x + y > z và x + y + z > 0  (y + z – x)(z + x – y) (x + y – z)(x + y + z) > 0  A > 0 (đpcm).

b) Cách 1. x y 3 1 1 3 xy 2 x y 2      (1). Điều kiện x, y > 0.

- Nếu x  y  1 1 2 1 1 x y x x y     hay 2 3 x 2   x  4

3 . Ta được 0 < x  4

3 .

Vì x là các số tự nhiên nên x = 1. Thay vào (1) ta được y = 2.

Trường hợp này ta được x = 1, y = 2 thoả mãn giả thiết.

- Nếu x  y, tương tự như trên, ta được x = 2, y = 1 thoả mãn giả thiết.

Vậy có hai cặp (x ; y) cần tìm là (1 ; 2) và (2 ; 1).

Cách 2. Điều kiện x > 0 và y > 0.

Khi đó : x y 3 xy 2    2(x + y) = 3xy  9xy - 6x - 6y = 0

 (9xy - 6x) – (6y – 4) = 4  (3x – 2)(3y – 2) = 4  3x – 2  Ư(4) = {1; 2; 4}

Vì x là các số tự nhiên lớn hơn 0 nên x  1 3x – 2  1. Hơn nữa 3x – 2 chia cho 3 dư 1. Suy ra 3x – 2  {1 ; 4}. Từ đó, ta có hai trường hợp:

TH1 : 3x 2 1 x 1 3y 2 4 y 2             

;

TH2 : 3x 2 4 x 2 3y 2 2 y 1             

.

Vậy có hai cặp (x ; y) cần tìm là (1 ; 2) và (2 ; 1).

Bài 2 (2 điểm)

a) Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + xy

GIẢI

a) Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + xy Ta có A = (x + y)3 - 3xy(x + y) + xy = 1 - 2xy (1) Từ x + y = 1 => (x + y)2 = 1 => x2 + y2 + 2xy = 1

ThuVienDeThi.com

2 => 2xy = 1 - (x2 + y2) thay vào (1) ta được A = x2 + y2 với y = 1 - x ta được A = 2x2 -2x + 1 = 2(x2 -2x.1/2+1/4-1/4) + 1 = 2(x - 1/2)2 +1/2  1/2 Dấu “=” xảy ra  x = 1/2

Vậy Min A = 1/2  x = 1/2 và y = ½

Bài 3: ( 3 điểm) a) Cho x + y = 3 và x2 + y2 = 5. Tính x3+ y3 b) Phân tích đa thức sau thanh nhân tử: x2 - x - 2010.2011

GIẢI

a) x+y = 3 suy ra (x+y)2 = 9 suy ra x2+y2+2xy =9 suy ra xy=(9-5):2=2 nên x3+y3=(x+y)(x2+y2-xy)=3(5-2)=9 b) x2 - x - 2010.2011=(x2 - 2011x)+(2010x - 2010.2011) = x( x – 2011) + 2010(x – 2011) =(x-2011)(x+2010)

Bài 4: ( 5 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 2

2 6 5 9 x x 

.

GIẢI

a(2đ), A =

 

2 2

3 1 4 2 2 9 6 5 x x x

 

  

 

=

Ta thÊy :  

2 3 1 0 x   nên  

2 3 1 4 4 x    . Do đó:

 

 

2

2

1 1 4 3 1 4

2 2 1 4 2 3 1 4

x

A x

  

       

Min 1 1 3 1 0 2 3 A x x     

Bài 5: ( 2 điểm)

Cho ba số dương a , b , c thoả mãn :

2 2 2 5 3 a b c    . Chøng minh r»ng :

1 1 1 1 a b c abc   

Ta cã :

 

 

 

2

2 2 2

2 2 2

0

2 0

1 2

a b c

a b c ab ac bc

a b c ac bc ab

  

      

     

ThuVienDeThi.com

3 1 5 . 2 3 1

1 1 1 1

ac bc ab

ac bc ab

abc a b c

   

  

   

( do a,b,c dương)

Bài 6 : (1,5 điểm) Tính số trị của biểu thức

b a

a b b a

b a A       3 5 3 2

Biết : 10a2-3b2+5ab = 0 và 9a2-b2 # 0

Ta cã b a

a b b a

b a A       3 5 3 2 (9a2-b20)

3 9

) 9 (3

) 10 3 5 ( 9

6 ) 10 3 (3 3 9

6 15 3

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

  

  

  

    

  

b a

b a

a b ab do b a

b a b a b a

b ab a

Bài 7: (2 điểm) Cho a+b+c=1 và a2+b2+c2=1

a) NÕu  a

x

c

z b

y  , CMR: xy+yz+zx=0

b) Nếu a3+b3+c3=1 . Hãy tìm giá trị của a,b,c

a) áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

0

) ( 2

) (

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2

2

2

2

2

2 2

   

        

    

        

    

    

zx yz xy

z y x zx yz xy z y x

z y x c b a

z y x c

z b

y a

x z y x

z y x c b a

z y x c

z b

y a

x

(do a2+b2+c2=1)

b)Ta cã

0 ) )( )( (

) )( )( ( 3 ) ( ) (

) )( )( ( 3

) )( ( 3

) ( ) ( 3 ) ( 3

) ( ) ( 3 ) ( ) (

3 3 3 3

2

3 3 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3 3

    

         

   

    

     …