Bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử dành cho học sinh giỏi Lớp 9 (Có đáp án)

BÀI TẬP

1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) (ab  1)2 + (a + b)2 ; b) x3 + 2x2 + 2x + 1; c) x3  4x2 + 12x  27 ;

d) x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 ; e) x4  2x3 + 2x  1.

2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) x2  2x  4y2  4y ; b) x4 + 2x3  4x  4 ;

c) x2(1  x2)  4  4x2 ; d) (1 + 2x)(1  2x)  x(x + 2)(x  2) ;

e) x2 + y2  x2y2 + xy  x  y.

3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) a(b2 + c2 + bc) + b(c2 + a2 + ca) + c(a2 + b2 + ab) ;

b) (a + b + c)(ab + bc + ca)  abc ;

c) c(a + 2b)3  b(2a + b)3.

4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) xy(x + y)  yz(y + z) + xz(x  z) ;

b) x(y2 + z2) + y(z2 + x2) + z(x2 + y2) + 2abc ;

c) (x + y)(x2  y2) + (y + z)(y2  z2) + (z + x)(z2  x2) ;

d) x3(y  z) + y3(z  x) + z3(x  y) ;

e) x3(z  y2) + y3(x  z2) + z3(y  z2) + xyz(xyz  1).

5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) a(b + c)2(b  c) + b(c + a)2(c  a) + c(a + b)2(a  b)

b) a(b  c)3 + b(c  a)3 + c(a  b)2 ;

c) a2b2(a  b) + b2c2(b  c) + c2a2(c  a) ;

d) a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2)  2abc  a3  b3  c3 ;

e) a4(b  c) + b4(c  a) + c4(a  b).

6. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) (a + b + c)3  (a + b  c)3  (b + c  a)3  (c + a  b)3 ;

b) abc  (ab + bc + ca) + a + b + c  1.

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (từ bài 7 đến bài 16) :

7. a) 6x2 – 11x + 3 ; b) 2x2 + 3x – 27 ; c) x2 – 10x + 24 ;

d) 49x2 + 28x – 5 ; e) 2x2 – 5xy – 3y2.

8. a) x3 + 2x - 3 ; b) x3 - 7x + 6 ; c) x3 – 5x + 8x – 4 ;

d) x3 – 9x2 + 6x + 16 ; e) x3 + 9x2 + 6x – 16 ; g) x3 – x2 + x – 1 ;

ThuVienDeThi.com

h) x3 + 6x2 – x – 30 ; i) x3 – 7x – 6 (giải bằng nhiều cách).

9. a) 27x3 + 27x +18x + 4 ; b) 2x3 + x2 +5x + 3 ; c) (x2 – 3)2 + 16.

10. a) (x2 + x)2  2(x2 + x)  15 ; b) x2 + 2xy + y2  x  y  12 ;

c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2)  12 ;

11. a) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4 ;

b) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 ;

c) 2(x4 + y4 + z4)  (x2 + y2 + z2)2  2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4.

12. (a + b + c)3  4(a3 + b3 + c3)  12abc bằng cách đổi biến : đặt a + b = m và a  b = n.

13. a) 4x4  32x2 + 1 ; b) x6 + 27 ; c) (2x2  4)2 + 9.

14. a) 4x4 + 1 ; b) 4x4 + y4 ; c) x4 + 324.

15. a) x5 + x4 + 1 ; b) x5 + x + 1 ; c) x8 + x7 + 1 ;

d) x5  x4  1 ; e) x7 + x5 + 1 ; g) x8 + x4 + 1.

16. a) a6 + a4 + a2b2 + b4  b6 ; b) x3 + 3xy + y3  1.

17. Dùng phương pháp hệ số bất định :

a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1 ; b) x4  7x3 + 14x2  7x + 1 ;

c) x4  8x + 63 ; d) (x + 1)4 + (x2 + x + 1)2.

18. a) x8 + 14x4 + 1 ; b) x8 + 98x4 + 1.

19. Dùng phương pháp xét giá trị riêng :

M = a(b + c  a)2 + b(c + a  b)2 + c(a + b  c)2 + (a + b  c)(b + c  a)(c + a  b).

20. Chứng minh rằng trong ba số a, b, c, tồn tại hai số bằng nhau, nếu :

a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b)

21. Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc và a, b, c là các số dương thì a = b = c.

22. Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd và a, b, c, d là các số dương thì

a = b = c = d.

23. Chứng minh rằng nếu m = a + b + c thì :

(am + bc)(bm + ac)(cm + ab) = (a + b)2(b + c)2(c + a)2.

24. Cho a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, ac + bd = 0. Chứng minh rằng ab + cd = 0.

25. Chứng minh rằng nếu x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y) + 2xyz = 0 thì :

x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3.

ThuVienDeThi.com