270 Bài toán dành cho học sinh giỏi Lớp 9

1

PHẦN I: ĐỀ BÀI

1. Chứng minh là số vô tỉ.

2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad + bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)

b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2)

3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2.

4. a) Cho a 0, b 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : .

b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.

5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.

6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.

7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c)

8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng :

9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 4a

b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8

10. Chứng minh các bất đẳng thức :

a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2)

11. Tìm các giá trị của x sao cho :

a) | 2x 3 | = | 1 x |b) x2 4x 5 c) 2x(2x 1) 2x 1.

12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)

13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 3a 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M

đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.

15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau :

x2 + 4y2 + z2 2a + 8y 6z + 15 = 0

16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) :

a) b)

c) d)

18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn nhng nhỏ hơn

7

a b ab 2  

bc ca ab a b c a b c     

a b a b   

2

1 A x 4x 9   

7 15 và 7  17 5 1 và 45  

23 2 19 và 27 3  3 2 và 2 3

2 3

ThuVienDeThi.com

2

19. Giải phương trình : .

20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy =

4.

21. Cho .

Hãy so sánh S và .

22. Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì là số

vô tỉ.

23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng :

a)

b)

c) .

24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ :

a)

b) với m, n là các số hữu tỉ, n 0.

25. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không ?

26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng : .

27. Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng : .

28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.

29. Chứng minh các bất đẳng thức :

a) (a + b)2 2(a2 + b2)

b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2)

c) (a1 + a2 + .. + an)2 n(a12 + a22 + .. + an2).

30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b 2.

31. Chứng minh rằng : .

2 2 2 3x 6x 7 5x 10x 21 5 2x x        

1 1 1 1 S .... ... 1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 1         

1998 2.1999

a

x y 2 y x  

2 2

2 2 x y x y 0 y x y x                

4 4 2 2

4 4 2 2 x y x y x y 2 y x y x y x                        

1 2 

3 m n 

2 2

2 2 x y x y 4 3 y x y x          

2 2 2

2 2 2 x y z x y z y z x y z x     

  x y x y   

ThuVienDeThi.com