Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Khối 9 - Năm học 2016-2017 - Sở GD & ĐT Hải Dương (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT HẢI DƢƠNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016-2017

MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề thi có 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm).

a) Cho biểu thức

2 2 P 1 x (1 x) 1 x 1 x (1 x) 1 x           với 1 x 1  .

Tính giá trị của biểu thức P khi 1 x 2017  .

b) Cho a, b, c là ba số thực không âm thoả mãn a b c a b c 2       .

Chứng minh rằng: a b c 2 1 a 1 b 1 c (1 a)(1 b)(1 c)         

Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải phương trình:   2 2 2x 2x 1 (2x 1) x x 2 1      

b) Giải hệ phương trình:  

2 2

3 x y 1 xy x 1

2x x y 1

      

   

Câu 3 (2,0 điểm).

a) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn:

2 2 2x 2y 3x 6y 5xy 7     .

b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho

2 2 n 2n n 2n 18 9      là số chính phương.

Câu 4 (3,0 điểm).

1) Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O,R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau

tại H (D thuộc BC, E thuộc CA, F thuộc AB). Tia EF cắt tia CB tại P, AP cắt đường tròn (O,R) tại M

(M khác A).

a) Chứng minh rằng: PE.PF = PM.PA và AM vuông góc với HM.

b) Cho cạnh BC cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Xác định vị trí của A để diện tích 

BHC đạt giá trị lớn nhất.

2) Cho tam giác ABC có góc A nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Một điểm I chuyển động trên cung

BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường

thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường

thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 5 (1,0 điểm). Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn

2 2 2 a b c 3    .

Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 a 3ab b b 3bc c c 3ca a 3 6a 8ab 11b 6b 8bc 11c 6c 8ca 11a

              

.

***************Hết***************

Họ và tên thí sinh:……………………………………………….Số báo danh:…………………………..

Chữ kí giám thị 1:…………………………………..Chữ kí giám thị 2:………………………………….

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

Câu 1 (2,0 điểm).

a) Cho biểu thức

2 2 P 1 x (1 x) 1 x 1 x (1 x) 1 x           với 1 x 1  .

Tính giá trị của biểu thức P khi 1 x 2017  .

b) Cho a, b, c là ba số thực không âm thoả mãn a b c a b c 2       .

Chứng minh rằng: a b c 2 1 a 1 b 1 c (1 a)(1 b)(1 c)         

Bài làm

a.

2 2 P 1 x (1 x) 1 x 1 x (1 x) 1 x          

2 2 P 1 x 1 1 x 1 1 x             

(vì 1 x 1  ).

Lúc đó suy ra   2 2 P (1 x) 2 2 1 (1 x ) 2(1 x)(1 x )         .

Mà

2 2 P 1 x (1 x) 1 x 1 x (1 x) 1 x 0            .Nên từ đó ta suy ra P 2(1 x)   (vì

1 x 0   ) .Vì 1 x 0 2017   nên suy ra 2018 P 2 2017  .

b. x a;y b;z c xy yz xz 1 a 1 (x y)(x z)           .

Tương tự ta có b 1 (z y)(x y);c 1 (z x)(z y)       .Nên lúc đó ta có :

a b c 2(xy yz xz) 2 VP 1 a 1 b 1 c (x y)(y z)(z x) (1 a)(1 b)(1 c)                

Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải phương trình:   2 2 2x 2x 1 (2x 1) x x 2 1      

b) Giải hệ phương trình:  

2 2

3 x y 1 xy x 1

2x x y 1

      

   

Bài làm

a.     2 2 2 2 2 2x 2x 1 (2x 1) x x 2 1 (x x 2) x x 1 (2x 1) x x 2 1 (1).                

Đặt   2 2 2 t x x 2 1 x x 2 (t 1)          .Thay vào pt (1) ta có :

t x (t x)(t x 1) 0 t x 1         

.

Với 2 2 x 1 1 t x x x x 2 (x 1) 3            

.

Với 2 2 x 1 t x 1 x 2 x x 2 x           

.

ThuVienDeThi.com