Đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Sở GD & ĐT Khánh Hòa (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH KHÁNH HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH

NĂM HỌC: 2016 – 2017 MÔN: TOÁN 9 Ngày thi: 11 – 4 – 2017 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1. (5 điểm)

a) Tính tổng 1 1 1 1 S 4.1 2 5.2 2 6.3 2 2020.2017 2 = + + + + + + + + … .

b) Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn đồng thời 1 1 1 1 x y z + + = và 2 2 1 1 yz x − = .

Tính giá trị biểu thức ( )

2017 P 4x 3y 2z = + + .

Bài 2. (4 điểm)

Giải hệ phương trình

2 2

2 2 3x 3y 6x 2y 10xy x y 2

 + = − + +  − = − 

Bài 3. (3 điểm) Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x 1 ≥, y 1 ≥ và ( ) 3 x y 4xy + = .

Chứng minh rằng 2 2 17 1 1 x y 3 14 2 x y   ≤ + + + ≤     .

Bài 4. (3 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n 5 2500 + là một số chính phương.

Bài 5. (3 điểm) Cho tam giác ABC. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng ID, EF và AM đồng quy.

Bài 6. (2 điểm) Có 6 vị khách được mời tham dự một cuộc họp của công ty X. Chứng minh rằng trong số các vị khách này luôn tồn tại 3 người mà hoặc là cả ba biết lẫn nhau hoặc không ai biết ai cả.

ThuVienDeThi.com

GỢI Ý GIẢI:

Bài 1. a) Với mọi n ∈ N*, ta có ( ) ( )( ) 2 1 1 1 1 1 n n 3 2 n 3n 2 n 1 n 2 n 1 n 2 = = = − + + + + + + + +

Cho n nhận các giá trị lần lượt từ 1 đến 2017 ta được:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S 2.3 3.4 4.4 2018.2019 2 3 3 4 4 5 2018 2019 = + + + + = − + − + − + + − … …

1 1 2017 2 2019 4038 = − =

b) Từ giả thiết suy ra 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 x y z xy yz xz yz x + + + + + = −

Suy ra

2 2

2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 0 0 x y z xy xz x y x z     + + + + = ⇒ + + + =        

Suy ra 1 1 1 1 0 y z x x y x z + = + = ⇒ = = − suy ra y z 1 = = , x 1 = −.

Khi đó ( ) 2017 2017 P 4 3 2 1 1 = −+ + = = .

Bài 2. ( ) ( )

2 2

2 2

1 3x 3y 6x 2y 10xy

2 x y 2

 + = − + +  − = − 

( ) ( ) 2 2 2 2 1 3x 3y 6x 2y 10xy 0 3x 2 5y 3 x 3y 2y 0 ⇔ + + − − = ⇔ − − + − = (*)

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ' 5y 3 3 3y 2y 16y 24y 9 4y 3 ∆= − − − = − + = − Phương trình (*) có hai nghiệm là:

1 5y 3 4y 3 x 3y 2 3 −+ − = = −;

2

5y 3 4y 3 y x 3 3 −− + = = ;

* Với x 3y 2 = −, thay vào pt (2) ta được: ( ) 2 2 2 3y 2 y 2 4y 6y 3 0 − − = −⇔ − + = (vô nghiệm)

* Với y x 3 = , thay vào pt (2) ta được:

2 2 2

3 1 y x y 9 2 2 y 2 y 3 1 9 4 y x 2 2

 = ⇒ =  − = −⇔ = ⇔  = − ⇒ = − 

.

Vậy hệ phương trình có nghiệm 1 3 ; 2 2       và 1 3 ; 2 2   − −    .

Bài 3. Ta có ( ) 3 x y 1 1 4xy 3 4 x y xy xy

+   + = = =     .

Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 2 2 2 17 9 x y 4 14 x y 10 2 2 ≤ + + ≤ ⇔ ≤ + ≤ .

* Chứng minh 2 2 9 x y 2 + ≥

Từ giả thiết ( ) 3 x y 4xy + = ⇒ 1 1 4 x y 3 + = .

Áp dụng bđt 1 1 4 x y x y + ≥ + ⇒ 4 4 x y 3 3 x y ≥ ⇒ + ≥ +

ThuVienDeThi.com

Khi đó ( )

2

2 2 x y 9 x y 2 2 + + ≥ ≥ . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3 x y 2 = = .

* Chứng minh 2 2 x y 10 + ≤ Từ giả thiết x 1 ≥, y 1 ≥ ⇒ ( )( ) x 1 y 1 0 − − ≥.

Suy ra ( ) ( ) ( ) x y xy 1 4 x y 4xy 4 4 x y 3 x y 4 + ≤ + ⇒ + ≤ + ⇒ + ≤ + + ⇒ x y 4 + ≤ Mặt khác ( ) x y xy 1 3 x y 3xy 3 4xy 3xy 3 + ≤ + ⇒ + ≤ + ⇒ ≤ + ⇒ xy 3 ≤

Khi đó ( ) 2 2 2 2 x y x y 2xy 4 2.3 10 + = + − ≥ − = . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 1 = , y 3 = hoặc x 3 = , y 1 = .

Bài 4. Nhận xét 4 2 2500 5 .2 = * Với n < 4: Dễ dàng kiểm tra với n = 1, 2, 3 thì n 5 2500 + không là số chính phương. * Với n ≥ 4: Ta có ( ) n n 4 2 4 n 4 2 5 2500 5 5 .2 5 . 5 2 − + = + = +

Vì 54 là số chính phương nên ( ) 4 n 4 2 5 . 5 2 −+ là số chính phương khi và chỉ khi

n 4 2 5 2 −+ là số chính phương. Đặt n 4 2 2 5 2 m −+ = (với m ∈ N*). Khi đó ta có ( )( )

n 4 m 2 m 2 5 − − + = , vì 5n – 4 không chứa ước nguyên tố khác 5 nên m – 2 = 1 ⇒ m = 3 ⇒ n = 5. Vậy n = 5 là số nguyên dương duy nhất thỏa mãn điều kiện bài toán.

Bài 5.

M N K

M

E

D

F

I

A

B C Gọi K là giao điểm của EF và ID. Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với ID, cắt 2 cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Các tứ giác IKMF và IKEN nội tiếp nên IMK IFK = và INK IEK = . Mà ∆IEF …