Đề thi chọn học sinh giỏi vào lớp THPT chuyên môn Toán - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT TRƢƠNG

QUANG AN

KÌ THI CHỌN HỌC SINH VÀO LỚP THPT CHUYÊN

TOÁN NĂM HỌC 2017 – 2018

MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 06/05/2017 ( Đề thi gồm có 01 trang ) Câu 1 (2,0 điểm): a) Cho a, b, c, d , m là các số tự nhiên và a + d , (b1)c , ab – a + c chia hết cho m. Chứng minh rằng 2017(abn + cn + d ) chia hết cho m với mọi số tự nhiên n b) Cho x, y thỏa mãn:

2016 2017 2016 2016 2017 2016 x x x y y y            Chứng minh: x y  Câu 2 (2,0 điểm):

a) Giải phương trình    

3 3 1 1 2 2 1 2 x x x x x      

b) Giải hệ ph-ơng trình sau:    

2 3 4 2 2

1 1 4

x xy x y

x x y y

          

Câu 3 (2,0 điểm):

a) Tìm số nguyên tố p sao cho các số 2 2 2 2 1; 2 3; 3 4 p p p    đều là số nguyên tố. b) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: 2 2 2 2 2 3 18 2 3 18 27 x y z y z x      . Câu 4 (3,0 điểm):

Cho đường tròn (O;R) đường kính BC. Gọi A là điểm thỏa mãn tam giác ABC nhọn. AB,

AC cắt đường tròn trên tại điểm thứ hai tương ứng là E và D. Trên cung BC không chứa D lấy F(F  B, C). AF cắt BC tại M, cắt đường tròn (O;R) tại N(N  F) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE tại P(P  A).

a) Giả sử 0 60 BAC  , tính DE theo R. b) Chứng minh AN.AF = AP.AM c) Gọi I, H thứ tự là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng BD, BC. Các

đường thẳng IH và CD cắt nhau ở K. Tìm vị trí của F trên cung BC để biểu thức

BC BD CD FH FI FK   đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 5 (1,0 điểm):Cho các số nguyên dương a, b, c, d thoả mãn:

; ; 1 a b c d ad bc d a      .

Chứng minh rằng a là số chính phương.

------------- HẾT ------------

Họ và tên thí sinh: …………………………………Số báo danh ……………. Chữ kí giám thị 1 ……………………… Chữ kí giám thị 2 …………………..

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

SỞ GD&ĐT TRƢƠNG

QUANG AN

ĐÁP ÁN VÀ HƢỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH TUYỂN VÀO THPT CHUYÊN

MÔN TOÁN NĂM HỌC 2017– 2018 Lƣu ý: Thí sinh làm theo các khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Điểm bài thi làm tròn đến 0,25 điểm CÂU PHẦN NỘI DUNG ĐIỂM

Câu1

2,0 điểm

a) 1,0điểm

Đặt Tn = a.bn + c.n + d,nN. Ta chứng minh ―Tn chia hết cho m‖ (*) bằng qui nạp theo n. Với n = 0 ta có: T0 = (a +d) m ( theo gt) do đó (*) đúng với n = 0. Giả sử (*) đúng với n = k, nghĩa là Tk m. Ta chứng minh (*) đúng với n = k+1.

0,25

Thật vậy, ta có Tk+1 – Tk = = a.bk+1 – a.bk + c = bk.(a.b – a + c) – bk.c + c = bk.(a.b – a + c) – c.(bk –1) = bk(ab – a + c) – c(b -1)(bk-1 + ... + b + 1).

0,25

Do đó: (Tk+1 – Tk ) m ( vì theo giả thiết ta có ab – a + c và (b–1)c m). Mà Tk m (theo giả thiết qui nạp), nên Tk+1 m. Vậy Tn m  n  N.

0,25

Kết luận 2017(abn + cn + d ) chia hết cho m với mọi số tự nhiên 0,25

b)

1,0điểm

2016 2017 2016 2016 2017 2016 x x x y y y            (1) ĐKXĐ: 2016 ; 2016 x y   

(1) 2016 2016 2017 2017 2016 2016 0 x y x y y x             

Nếu x khác y và 2016 ; 2016 x y    thì 2016 2016 x y    >0;

2017 2017 x y    >0; 2016 2016 x y    >0 , do đó (1)

0,25

  1 1 1 0 2016 2016 2017 2017 2016 2016 x y

x y x y x y

                     

(2)

0,25

Khi đó dễ chứng tỏ

1 1 0 2016 2016 2017 2017 x y x y        

0,25

Mà 0 x y   nên (2) vô lý vì VT(2) luôn khác 0 Nếu x=y dễ thấy (1) đúng. Vậy x = y.

0,25

Câu 2

2,0 điểm

a) 1,0 điểm

   

3 3 1 1 2 2 1 2 x x x x x       (1)

ĐKXĐ: x 1 

Đặt: 1; 2 y x z    Khi đó (1) có dạng : x3 + y3 + z3= (x + y +z)3 (2) Chứng minh được (2) (x+y)(x+z)(z+x) = 0

0,25

ThuVienDeThi.com