Đề thi chọn học sinh giỏi vòng huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN

NĂM HỌC: 2012 – 2013

Môn thi: Toán lớp 9 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (4 điểm)

Cho biểu thức: M = 2x x x x x x x 1 x x 1 x x 1 2x x 1 2 x 1

æ ö + - + - ÷ ç ÷ - × + ç ÷ ç ÷ ç - - + - - è ø 1. Rút gọn M. 2. Với giá trị nào của x thì M đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 2. (4 điểm)

1. Giải hệ phương trình: 2 2 x 2y 4

x xy 3y 2x 5y 4 0

           2. Giải phương trình: 2 2 x x 3 x x 15 0       Bài 3. (4 điểm)

1. Cho x, y, z 0  . Chứng minh rằng: yz zx xy x y z x y z     

2. Cho đường thẳng (d): (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (m là tham số).

a) Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. b) Tính m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất. Bài 4. (5 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC. 1. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC nửa đường tròn (I) đường kính AB và nửa đường tròn (K) đường kính AC. Đường thẳng qua A cắt hai nửa đường tròn (I), (K) lần lượt tại các điểm M, N (M khác A, B và N khác A, C). Tính các góc của tam giác ABC khi diện tích tam giác CAN bằng 3 lần diện tích tam giác AMB. 2. Cho AB < AC và điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = AB. Gọi điểm E là hình chiếu của điểm D trên đường thẳng BC và điểm F là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng

DE. So sánh AE AF và AB AC với · cosAEB.

Bài 5. (3 điểm)

Cho đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R. Từ điểm P trên tia tiếp tuyến của đường tròn tại điểm B, vẽ tiếp tuyến thứ hai PA (A là tiếp điểm) với đường tròn. Gọi H là hình chiếu của A lên BC, E là giao điểm của PC và AH. Chứng minh E là trung điểm của AH

-------------------- Hết ------------------

ĐỀCHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

VÒNG HUYỆN NĂM HỌC: 2012 – 2013

Môn: Toán lớp 9

Bài Đáp án Điểm Với x 0 và x 1  , ta có: 0.5

M = ( )( )

( ) ( )( )

x x 1 2x x x x x 1 x 2x x 1 2 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1

æ ö + ÷ ç + - - ÷ ç ÷ - × + ç ÷ ç ÷ ç + - - - + + + - ÷÷ çè ø

= ( )( )

x x 2 x x 1 x 2x x 1 2 x 1 x 1 x x 1

- - × + + - - - + + 0.5

= ( )( )

( )( ) ( )( )

x 1 x 1 x x 2 x x 2 x 1 x 1 x x 1 x 1 2 x 1

- + - × +

- - + + + -

= ( )( )

x x 2 x x 2 x 1 x x 1 2 x 1

- +

- + + - 0.5

= ( )( )

x x 2 x x x x x

x x 1 2 x 1

- + + +

+ + - 0.5

1.1 (2,5đ)

= ( )( ) ( )( )

x x 1 2 x 1

x x 1 2 x 1

+ -

+ + -

= x x x x 1    0.5

x x x x 1 1 1 M 1 x x 1 x x 1 x x 1            

0.5

M nhỏ nhất  1 x x 1  

lớn nhất 0.25

x x 1   nhỏ nhất (Vì phân thức dương, tử không đổi và mẫu dương) 0.25 Ta có: x x 1   1 , dấu “=” xảy ra khi x = 0 0.25

1.2 (1,5 đ)

Vậy Min M = 0 khi x = 0 0.25

Giải hệ phương trình:  2 2 x 2y 4 (1)

x xy 3y 2x 5y 4 0 2

          Từ phương trình (1) có x = 4 - 2y 0.25 Thay x = 4 - 2y vào phương trình (2) được: (4 - 2y)2 – y(4 - 2y) + 3y2 + 2(4 - 2y) – 5y -4 = 0

9y2 – 29y + 20 = 0 (HS có thể giải bằng CTNo hoặc đưa về phương trình tích) 0.5

 1 2

20 y 1; y 9   0.5

Với y1 = 1 x1 = 2 0.25

2

20 y 9   2

4 x 9   0.25

2.1 (2.0 đ)

Hệ phương trình có 2 nghiệm (2;1) và 4 20 ; 9 9        0.25

PHÒNG GD – ĐT TRÀ CÚ

ThuVienDeThi.com