Đề và đáp án thi học sinh giỏi Toán lớp 9

Câu 1 : (2 điểm) Cho P=

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên

Câu 2 : (2 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương

của chúng chia hết cho 3.

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức :

P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó .

Câu 3 : (2 điểm)

a) Giải phương trình :

b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :

A =

Câu 4 : (3 điểm)

Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một góc xMy bằng 600 quay

quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E . Chứng

minh :

a) BD.CE=

b) DM,EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED.

c) Chu vi tam giác ADE không đổi.

Câu 5 : (1 điểm)

Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện

tích bằng số đo chu vi .

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

Câu 1 : (2 đ)

a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4)

=(a-1)(a+1)(a-4) 0,5

a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 )

=( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5

8 14 7

4 4

2 3

2 3

  

  

a a a

a a a

18

1 42 13

1 30 11

1 20 9

1

2 2 2          x x x x x x

3          c b a

c b c a

b a c b

a

4

2 BC

ThuVienDeThi.com

Nêu ĐKXĐ : a 0,25

Rút gọn P= 0,25

b) (0,5đ) P= ; ta thấy P nguyên khi a-2 là ước của 3,

mà Ư(3)= 0,25

Từ đó tìm được a 0,25

Câu 2 : (2đ)

a)(1đ) Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a+b chia hết cho 3 . 0,25

Ta có a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) =

=(a+b) 0,5

Vì a+b chia hết cho 3 nên (a+b)2-3ab chia hết cho 3 ;

Do vậy (a+b) chia hết cho 9 0,25

b) (1đ) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 0,5

Ta thấy (x2+5x)2 0 nên P=(x2+5x)2-36 -36 0,25

Do đó Min P=-36 khi (x2+5x)2=0

Từ đó ta tìm được x=0 hoặc x=-5 thì Min P=-36 0,25

Câu 3 : (2đ)

a) (1đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;

x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;

x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25

ĐKXĐ : 0,25

Phương trình trở thành :

0,25

18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)

4 ;2 ;1    a a

2 1 

 a

a

2 3 1 2

3 2

   

 

a a a

  3;3 ;1;1  

  5;3;1  

  ab b ab a 3 ) 2 ( 2 2   

  ab b a 3 ) ( 2  

  ab b a 3 ) ( 2  

 

7 ;6 ;5 ;4         x x x x

18

1 ) 7 )( 6 (

1 ) 6 )( 5 (

1 ) 5 )( 4 (

1          x x x x x x

18

1 7 1 6 1 6 1 5 1 5 1 4 1             x x x x x x

18

1 7 1 4 1     x x

ThuVienDeThi.com

(x+13)(x-2)=0

Từ đó tìm được x=-13; x=2; 0,25

b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0

Từ đó suy ra a= ; 0,5

Thay vào ta được A= 0,25

Từ đó suy ra A hay A 0,25

Câu 4 : (3 đ)

a) (1đ)

Trong tam giác BDM ta có :

Vì =600 nên ta có :

Suy ra

Chứng minh ∾ (1) 0,5

Suy ra , từ đó BD.CE=BM.CM

Vì BM=CM= , nên ta có BD.CE= 0,5

b) (1đ) Từ (1) suy ra mà BM=CM nên ta có

Chứng minh ∾ 0,5

Từ đó suy ra , do đó DM là tia phân giác của góc BDE

Chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của góc CED 0,5

c) (1đ) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC

Chứng minh DH = DI, EI = EK 0,5

Tính chu vi tam giác bằng 2AH; Kết luận. 0,5

Câu 5 : (1đ)

Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z

(x, y, z là các số nguyên dương )

2 ; 2 ; 2

y x c z x b z y     



 

            ) ( ) ( ) ( 2 1 2 2 2 y z z y x z z x y x x y z

y x y

z x x

z y

) 2 2 2 ( 2 1    3 

1 0 1 ˆ 120 ˆ M D  

2 ˆM 1 0 3 ˆ 120 ˆ M M  

3 1 ˆ ˆ M D 

BMD  CEM 

CE CM BM

BD 

2 BC

4

2 BC

EM MD CM

BD 

EM MD BM

BD 

BMD  MED 

2 1 ˆ ˆ D D 

3 2 1

2 1

x

y

E

D

M C B

A

ThuVienDeThi.com