Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán lớp 9 - Năm học 2010-2011 - Phòng GD & ĐT Hà Tĩnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ TĨNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn Toán Thời gian làm bài : 150 phút

Ngày thi: 17 / 03 / 2011

Bài 1. Cho phương trình: .

a) Giải phương trình khi m = 2. b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm dương phân biệt. Bài 2. a) Cho a, b, c là những số nguyên thỏa mãn điều kiện:

Chứng minh rằng chia hết cho 3. b) Giải phương trình: , biết rằng a, b là các số hữu tỉ

và là một nghiệm của phương trình. Bài 3. Cho x, y là các số nguyên dương, thỏa mãn: .

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P = Bài 4. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, một dây cung MN = R di chuyển trên nửa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng song song với ON cắt đường thẳng AB tai E. Qua N kẻ đường thẳng song song với OM cắt đường thẵng AB tại F. a) Chứng minh tam giác MNE và tam giác NFM đồng dạng . b) Gọi K là giao điểm của EN và FM. Hãy xác định vị trí của dây MN để tam giác MKN có chu vi lớn nhất. Bài 5. Cho a, b, c là những số dương thỏa mãn: . Chứng minh :

.

_________ Hết ________

Họ và tên thí sinh: ...................................................... Số báo danh: .....................

3

3 1 1 x (m 1)(x ) m 3 0 x x       

2

2 2 2 1 1 1 1 1 1 . a b c a b c           

3 3 3 a b c  

3 2 x ax bx 1 0    1 2 

x y 2011  

2 2 x(x y) y(y x)   

abc 1 

3 3 3 a b c 3 (1 b)(1 c) (1 c)(1 a) (1 a)(1 b) 4        

ThuVienDeThi.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THCS - NĂM HỌC 2010-2011

LỜI GIẢI MÔN TOÁN LỚP 9

(Lời giải gồm 02 trang)

Bài Đáp án

a) (1). Đk: .

Khi m = 2: (1) trở thành

(thoả mãn)

b) Đặt (2), ta có : .

Khi đó (1) trở thành : (3)

Từ (2) ta được , với mỗi giá trị tùy ý của t, phương trình này luôn có đúng 1 nghiệm dương (nghiệm còn lại âm), mà (3) đã có 1 nghiệm t = 1, nên để (1) có đúng 2 nghiệm dương phân biệt thì điều kiện cần và đủ là : Phương trình (4) hoặc có nghiệm kép hoặc có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm t = 1 . Điều đó tương đương với :

Bài 1

; (cả 2 giá trị thoả mãn)

Vậy cácgiá trị của m cần tìm là

a) Từ giả thiết

(*)

Từ (*) dễ thấy khi a, b, c thì , đpcm.

b) (1)

Do là nghiệm của (1) nên:

Biến đổi và rút gọn, ta được: (2)

Do a, b là các số hữu tỷ nên (2) chỉ xảy ra khi và chỉ khi

Thay các giá trị của a, b vào (1), ta có: .

Bài 2

. Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm là:

Bài 3

Có thể giả sử: x > y, suy ra: (1). Đặt 2011 = a. Khi đó: P =

P =

P (2)

3

3 1 1 x (m 1)(x ) m 3 0 x x        x 0 

3

3 1 1 x 3(x ) 1 0 x x     3 1 (x ) 1 x    1 x 1 x   

 2 1 5 x x 1 0 x 2     

1 x t x   3 3 3 1 x t 3t x   

3 2 t (m 2)t m 3 0 (t 1)(t t m 3) 0          

2 t 1.

g(t) t t m 3 0 (4)

       

2 x tx 1 0  

t 1 

0 4m 11 0 11 0 m 11 ; ; m 4 b 1 g(1) 0 4 1 1 m 5 2a 2

                               

m 5 

11 m ; m 5. 4  

2

2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2( ) 0 a b c 0 a b c a b c ab bc ca             

3 3 3 3 3 3 a b c a b 3ab(a b) c a b c 3abc           

Z  3 3 3 (a b c ) 3   M

3 2 x ax bx 1 0   

x 1 2  3 2 (1 2) a(1+ 2) b(1 2) 1 0     

(3a b 8) (2a b 5) 2 0      

3a b 8 0 a 3 2a b 5 0 b 1               

3 2 2 x - 3x x 1 0 (x 1)(x 2x 1) 0       

x 1; x 1 2    x 1; x 1 2   1006 x 2010  

3 3 3 3 (x y ) 2xy (x y) 3xy(x y) 2xy a 3x(a x)a 2x(a x)            

2 2 3 (3a 2)x (3a 2a)x a     2 3 2 2 3 1 1 (3a 2)(x ax) a (3a 2)[(x a) a ] a 2 4        

2 3 2 1 1 (3a 2)(x a) [a a (3a 2)] 2 4      

ThuVienDeThi.com