Đề và đáp án thi học sinh giỏi huyện Toán lớp 9 - Năm học 2012-2013

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

MÔN TOÁN LỚP 9 NĂM HỌC 2012 - 2013 Thời gian làm bài: 150 phút

Ngày thi: 23 / 11 / 2012

Bài 1. a) Rút gọn biểu thức:

b) Tìm các số nguyên a, b thỏa mãn:

Bài 2. a) Giải các phương trình sau:

.

b) Tìm x, y thỏa mãn:

Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức:

Bài 4. Cho đường tròn đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung CD tại H ( ). Biết AH = a; CD = 2b.

a) Chứng minh rằng các tam giác HAD và HCB đồng dạng với nhau

b) Tính R theo a và b

c) Qua H vẽ hai dây cung MN và PQ vuông góc với nhau. Xác định vị trí các dây này để MN + PQ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Bài 5. Cho

Chứng minh rằng :

==HẾT==

Họ và tên thí sinh:..................................................................... Số báo danh:..............................................................................

Lưu ý: Học sinh không được dùng máy tính.

3 1 3 3 10 6 3 A 2     

2 3 9 20 5 a b 5 a b 5    

2 2 2 2

2 2012 2012 x 1 2x x 4x 4 1 2012 2013 2013        

1 6 5 2      x x x

2

2 x 6x 6y

y 9 2xy

      

2 M 2x 5 x   

H O 

, , (0,1]  x y z

3 1 1 1            x y z y xz z xy x yz x y z

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013

MÔN TOÁN LỚP 9

Bài Nội dung Điểm a) 2,0đ

0,5

0,5

1,0

b) 1,5đ

ĐK: (*)

0,25

(*) 0,25

Ta thấy (*) có dạng nếu vô lí vậy B = 0 => A= 0. 0,25

Do đó (*) 0,25

(Loại vì không thỏa mãn ĐK (*))

Bài 1

3,5đ

a = 9; b = 4 0,5 a) 5,0đ * Biến đổi vế phải ta có

0,75

Phương trình trở thành: (*) 0,5

Xét 3 trường hợp: - Trường hợp 1: Nếu (thỏa mãn) 0,5

Bài 2

6,0đ

- Trường hợp 2: Nếu (Phương trình vô nghiệm) 0,25

3 3 3 1 3 3 (1 3) 1 3 3 10 6 3 A 2 2

         

2 1 (1 3) 1 4 2 3 2 2      

2 3 4 2 3 2 2    

2 (1 3) 1 3 2 2    

a b 5 

2 3 9 20 5 a b 5 a b 5

2(a b 5) 3(a b 5) (9 20 5)(a b 5)(a b 5)

   

       

2 2 2 2 9a 45b a 5( 20a 100b 5b)       

A B 5  A B 0thi 5 Z B   

2 2

2 2 9a 45b a 0

20a 100b 5b 0

         

2 2 2 2

2 2

9a 45b a 0 9a 45b a 0 9 9 9a 45b b 0 a b 4 4

                      

2

9 a b a 9 a 0 hoac 4 b 4 b 0 b 4b 0

                   

2 2 2 2013 (2012 1) 2012 2.2012 1      2 2 1 2012 2013 2.2012   

2 2 2 2 2 2 2012 2012 2012 2012 1 2012 2013 2.2012 2013 2013 2013 2013        

2 2012 2012 2012 2012 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013             

1 2 2013    x x

1 ì (*) 3 2 2013 1005       x th x x

1 2 (*) 0 1 2013     x thi x

ThuVienDeThi.com

- Trường hợp 3: Nếu (thỏa mãn) 0,25 Kết luận: Phương trình (*) có 2 nghiệm: và 0,25

* ĐK (*)

Phương trình đã cho trương đương với:

0,25 0,25

0,25

ĐK: x - 5 (**) 0,5

(1 –x)(- 5 – 2x) = (x +5)2 0,25 x2 – 7x – 30 = 0 0,25 x1 = - 3 (thoả mãn ĐK (*) và (**)) hoặc x2 = 10 (không thoả mãn ĐK (*) và (**)) 0,5 Vậy phương trình có nghiệm x = - 3. 0,25 b) 1,0đ

Cộng vế theo vế ta được 0,25

0,5

Vậy (x; y) = 0,25

Điều kiện: (*) 0,25

* Tìm giá trị lớn nhất: Trước hết ta chứng minh: với 2 bộ số (a1; a2); (b1; b2) ta có:

(a1b1+a2b2)2 ≤(a12+a22)(b12+b22)(**) Đẳng thức xẩy ra 0,25

Áp dụng (**) ta có 0,5

Đẳng thức xẩy ra khi (TMĐK(*)) 0,5

Vậy với x = 2 thì GTLN của M = 5 0,5 * Tìm giá trị nhỏ nhất

Từ điều kiện (*) tá có (1) 0,25

Mặt khác (2)

Từ (1) và (2) ta có 0,25

Đẳng thức xẩy ra khi 0,25

Bài 3

3,0đ

Vậy khi thì M đạt GTNN là 0,25

Vẽ hình 0,25đ a) 2,0đ

Bài 4

6,5đ

Ta có nên vuông tại C nên (1) Vì AB CD nên (2) Từ (1) và (2) suy ra . Mặt khác AB CD HC=HD hay ACB là tam giác cân tại A =>AH là phân giác góc A => => Các tam giác HAD và HCB đồng dạng với nhau

H

O

A

C D

B

M

N P

Q

L

K

0,25

1,0

1,0

2 (*) 2 3 2013 1008       x thi x x

1 1005  x 2 1008  x x 2,5 

1 5 2 6 x x x     

1 ( 5 2 ) 2 (1 )( 5 2 ) 6 x x x x x       

 (1 )( 5 2 ) 5 x x x     …