Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 (Có đáp án) - Năm học 2016-2017 - Phòng GD & ĐT Thiệu Hóa

PHỎNG GD&ĐT THIỆU HÓA ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG HUYỆN

MÔN TOÁN

(Thời gian làm bài: 150 phút)

Bài 1. (4,0 điểm)

1. Tính giá trị của biểu thức .

2. Tính giá trị biểu thức P = với .

Bài 2: (2,0 điểm) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1. Hãy tính giá trị biểu thức:

A =

Bài 3: (4.0 điểm)

1. Giải phương trình:

2. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho là số tự nhiên

Bài 4: (8,0 điểm)

1. Cho nửa đường tròn (O) đường kình AB = 2R. Vẽ đường thẳng d là tiếp

tuyến của (O) tại B.

Trên cung lấy điểm M tùy ý (M khác A và B), tia AM cắt d tại N. Gọi C là

trung điểm của AM, tia CO cắt d tại D.

a) Chứng minh rằng: NO  AD

b) Chứng minh rằng: CA. CN = CO . CD.

c) Xác định vị trí điểm M để (2AM + AN) đạt giá trị nhỏ nhất.

2. Cho nhọn. Chứng minh rằng Cos2A + Cos2B + Cos2C < 1 Bài 5 (2,0 điểm): Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức

2 2 2 2 2 2

2 2 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) y z z x x y x y z x y z           

3 3 26 15 3 26 15 3 A    

11 2 3

9 17 4

2 4

3 5

  

  

x x x

x x x

4 1 1 2   x x

x

 

2 2 2

2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 x 4 x 4 x x x 4 x x x x                             

2 3 4 1    p p p p

» AB

ABC 

2 2 2 2 2 2

2 2 2 x xy y y yz z z zx x S x y z y z x z x y               

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

Bài Nội dung Điểm

1

(2,0 đ)

1. Ta có

.

2. Ta có

Khi đó

Suy ra P =

( do ). Vậy P = .

1,0đ

0,5đ

0,5đ

2

(2 đ)

1. Từ: xy + yz + xz = 1

 1 + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z)

= (x + z)(x + y)

Tương tự: 1 + y2 = xy + yz +xz +y2 = y.(x+ y) +z .(x +y)

= ( x+ y).(y+z)

1 + z2 = xy + yz + xz + z2 =x .( y + z)+ z. (y + z) = ( y +z). ( x +z)

=

0,5đ

0.5đ

0.75đ 0.25đ

3

1)

(2,0đ)

1) (1)

Điều kiện xác định:

(1) 1đ

3 3 26 15 3 26 15 3 A    

2 2 3 2 2 3 3 3 8 3.2 3 3.2.( 3) ( 3) 8 3.2 3 3.2.( 3) ( 3)        

3 3 3 3 (2 3) (2 3)     (2 3) (2 3)    

2 3 A 

1 3 1 4 4 1 1

2 2 2           x x x x x x x

x

    3 8 1 3 3 3 1 3 . 2 2 3           x x x x x x x x x x

    8 21 3 1 3 8 3 8 3 8 . 2 3 4           x x x x x x x x x x

    21 55 8 1 3 21 8 21 8 21 . 2 4 5           x x x x x x x x x x

11 2 3

9 17 4

2 4

3 5

  

  

x x x

x x x         11 2 1 3 3 8 21

9 17 3 8 4 21 55

    

      x x x

x x x

16

3 32

6   x x 0  x 16

3

    

    

     2

2 2

2

2 2

2

2 2

1

1 . 1 . 1

1 1 . 1

1 1 . z

y x z y

x z y x

z y x A 

   

   

  

       

       

       z x z y

z y y x y x z x z

z y y x

y x z x z x z y y y x z x

z x z y z y y x x

 

    

 

      

    

.

. .

     

2 2 2 . . . y x z z x y z y x      

      2 . . .              yz xz yz xy xz xy y x z z x y z y x

 

2 2 2

2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 x 4 x 4 x x x 4 x x x x                              x 0 

 

2 2

2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 x 4 x x x x 4 x x x x

                                     

ThuVienDeThi.com