Đề thi học sinh giỏi lớp 9-Cấp thành phố Buôn Ma thuột năm học 2012-2013 đề thi môn Toán

GV: Nguyễn Dương Hải – THCS Phan Chu Trinh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) trang 1

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

TP BUÔN MA THUỘT

--------- ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9-CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2012-2013

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (không tính giao đề) Bài 1: (2 điểm)

a) Rút gọn biểu thức:

2 2

2 2012 2012 1 2012 2013 2013 A    

b) Tìm giá trị lớn nhất của   1 0 1 B x x x    

Bài 2: (2 điểm)

Giải phương trình: 2 2 3 5 8 3 5 1 1 x x x x     

Bài 3: (2 điểm) Cho hệ phương trình: 1 3 1 x my m mx y m         

a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x.y đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. (cần xem lại đề, chỉ có GTNN) b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn x + y < 0

Bài 4: (4 điểm)

a) Chứng minh rằng (n4 – 4n3 – 4n2 + 16n)  384 (với mọi n chẵn, n ≥ 4) b) Cho a + b + c + d = 2. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 1

Bài 5: (4,5 điểm) Cho đường tròn (O; R). Hai đường kính cố định của (O) là AB và CD vuông góc với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB.

a) Tính     2 2 2 2 sin sin sin sin MBA MAB MCD MDC    b) Chứng minh   2 2 OK AH R AH   c) Tìm vị trí điểm M để giá trị của . . . P MA MB MC MD  lớn nhất.

Bài 6: (5,5 điểm) Cho AB là đường kính của đường tròn (O; R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) tại M, MB cắt CH tại K.

a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O; R) c) Chứng minh K là trung điểm của CH. d) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất ? Tìm giá trị lớn

nhất đó theo R.

ThuVienDeThi.com

GV: Nguyễn Dương Hải – THCS Phan Chu Trinh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm và giới thiệu) trang 2

BÀI GIẢI SƠ LƯỢC Bài 1: (2 điểm)

a)

2 2 2 2 2 2012 2012 2012 2012 2012 1 2012 1 2 1 2012 2013 2013 2013 2013 2013 A               

2 2 2 1 1 2012 1 2012 2 2012 2012 2012 2013 2013 2013 2013 2013

1 2012 2012 2013 2013 2013

             

   

b) Ta có  

2 1 3 1 0 0 2 4 x x x x             . Do đó B lớn nhất 1 x x    nhỏ nhất. Mà

 

2 1 3 3 1 0 2 4 4 x x x x             , dấu “=” xảy ra khi 1 1 0 2 4 x x     (TMĐK)

Vậy GTLN của B là 1 4 3 3 4

 khi 1 4 x 

Bài 2: (2 điểm) ĐK: 2 2 3 5 8 0, 3 5 1 0 x x x x     

Đặt   2 3 5 1 0 x x t t    , phương trình trở thành 7 1 7 1 t t t t     

7 2 1 3 9 t t t t t      (TMĐK)

Khi đó ta có    2

1 3 5 1 9 1 3 8 0 8 3

x x x x x

x

          

(TMĐK)

Vậy phương trình có hai nghiệm 8 1, 3 x x  

Bài 3: (2 điểm)

a) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1 1 m m m    

Ta có          1 3 1 1 1 1 1 3 1 * 3 1 3 1 3 1

x my m x m m mx m m m x m m mx y m y m mx y m mx

                            

3 1 3 1 1 1 3 1 1 3 1 1 1

m m x x m m m m y m m y m m

                             

(Vì 1 m )

Khi đó

 

 

   

2 2 2 2

2 2 2 4 2 1 3 1 1 3 2 1 4 1 1 1 1 1 1 1

m m m m m m m m xy m m m m m

                 

Dấu “=” xảy ra khi m = 0. Vậy m = 0 thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất (x; y) mà GTNN của xy là -1

b) +) Nếu m = 1, (*) trở thành 0 0 2 x y x      

. Hệ phương trình có vô số nghiệm

  ; 2 x R y x    . Khi đó x + y = 2 > 0, không thỏa x + y < 0

ThuVienDeThi.com